Polynôme de Laguerre

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Introduction

En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre (1834 - 1886), sont les solutions de l'équation de Laguerre :

x y^{''} + (1 - x) y^{'} + n y = 0

qui est une équation différentielle linéaire du second ordre. Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif.

Ces polynômes, traditionnellement notés $L_{0}, L_{1}, \dots$ , forment une suite de polynômes qui peut être définie par la formule de Rodrigues

L_{n} (x) = \frac{e ^{x}}{n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (e^{- x} x^{n}) .

Ils sont orthogonaux les uns par rapport aux autres pour le produit scalaire défini par

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{\infty} f (x) g (x) e^{- x} d x .

La séquence des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer.

Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron.

Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où les polynômes sont multipliés par un facteur (n!) par rapport à la définition donnée ici.

Les quelques premiers polynômes

Voici les premiers polynômes de Laguerre:

n	$L_{n} (x)$
0	$1$
1	$- x + 1$
2	$\frac{1}{2} (x^{2} - 4 x + 2)$
3	$\frac{1}{6} (- x^{3} + 9 x^{2} - 18 x + 6)$
4	$\frac{1}{24} (x^{4} - 16 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x + 24)$
5	$\frac{1}{120} (- x^{5} + 25 x^{4} - 200 x^{3} + 600 x^{2} - 600 x + 120)$
6	$\frac{1}{720} (x^{6} - 36 x^{5} + 450 x^{4} - 2400 x^{3} + 5400 x^{2} - 4320 x + 720)$

Propriétés

La fonction génératrice pour les polynômes de Laguerre est

$\frac{e ^{- x t / (1 - t)}}{1 - t} = \sum_{n = 0}^{\infty} L_{n} (x) \frac{t ^{n}}{n !}$ .

Le n-ième polynôme de Laguerre satisfait l'équation différentielle suivante :

x L_{n}^{''} (x) + (1 - x) L_{n}^{'} (x) + n L_{n} (x) = 0.

On a aussi la suite récurrente suivante :

(n + 1) L_{n + 1} (x) + (x - 2 n - 1) L_{n} (x) + n L_{n - 1} (x) = 0.

Les polynômes satisfont la propriété

x L_{n}^{'} (x) - n L_{n} (x) + n L_{n - 1} (x) = 0,

Expression par une intégrale de contour

Les polynômes peuvent être exprimés en termes d'une intégrale de contour

L_{n} (x) = \frac{1}{2 π i} \oint \frac{e ^{- x t / (1 - t)}}{( 1 - t ) t ^{n + 1}} d t

où le contour entoure l'origine une fois dans le sens trigonométrique.

Polynômes de Laguerre généralisés

La propriété d'orthogonalité évoquée plus haut revient à dire que si X est une variable aléatoire distribuée exponentiellement avec la fonction densité de probabilité

f (x) = {e^{- x} si x > 0, 0 si x < 0,

alors

E (L_{n} (X), L_{m} (X)) = 0 si n \neq = m .

La distribution exponentielle n'est pas la seule distribution Gamma. Une séquence polynomiale orthogonale par rapport à la distributoin gamma dont la fonction densité de probabilité est, pour α > − 1,

f (x) = {x^{α} e^{- x} /Γ (1 + α) si x > 0, 0 si x < 0,

(cf.fonction gamma) est donnée par l'équation de Rodrigues pour les polynômes de Laguerre généralisés:

L_{n}^{(α)} (x) = \frac{x ^{- α} e ^{x}}{n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (e^{- x} x^{n + α}) .

Ils sont parfois appelés les polynômes de Laguerre associés. On retrouve les polynômes de Laguerre simples en prenant α = 0:

L_{n}^{(0)} (x) = L_{n} (x) .

Les polynômes de Laguerre généralisés sont orthogonaux sur $[0, \infty)$ par rapport à la fonction de poids x**e :

\int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{α} L_{n}^{(α)} (x) L_{m}^{(α)} (x) d x = \frac{Γ ( n + α + 1 )}{n !} δ_{nm} .

Les polynômes de Laguerre généralisés obéissent à l'équation différentielle

x L_{n}^{(α)''} (x) + (α + 1 - x) L_{n}^{(α)'} (x) + n L_{n}^{(α)} (x) = 0.

Exemples de polynômes de Laguerre généralisés

Les premiers polynômes de Laguerre généralisés sont

L_{0}^{(α)} (x) = 1

L_{1}^{(α)} (x) = - x + α + 1

L_{2}^{(α)} (x) = \frac{x ^{2}}{2} - (α + 2) x + \frac{( α + 2 ) ( α + 1 )}{2}

L_{3}^{(α)} (x) = \frac{- x ^{3}}{6} + \frac{( α + 3 ) x ^{2}}{2} - \frac{( α + 2 ) ( α + 3 ) x}{2} + \frac{( α + 1 ) ( α + 2 ) ( α + 3 )}{6}

Dérivées des polynômes de Laguerre généralisés

En différentiant la représentation en série d'un polynôme de Laguerre généralisé k fois conduit à

\frac{d ^{k}}{d x ^{k}} L_{n}^{(α)} (x) = (- 1)^{k} L_{n - k}^{(α + k)} (x) .

Relation aux polynômes d'Hermite

Les polynômes de Laguerre généralisés apparaissent dans le traitement de l'oscillateur harmonique quantique, à cause de leur relation aux polynômes d'Hermite, qui peuvent être exprimés par

H_{2 n} (x) = (- 1)^{n} 2^{2 n} n! L_{n}^{(- 1/2)} (x^{2})

H_{2 n + 1} (x) = (- 1)^{n} 2^{2 n + 1} n! x L_{n}^{(1/2)} (x^{2})

où les H_n(x) sont les polynômes d'Hermite.

Relation aux fonctions hypergéométriques

Les polynômes de Laguerre peuvent être reliés aux fonctions hypergéométriques, plus précisément aux fonctions hypergéométriques confluentes, par

L_{n}^{(α)} (x) = (n n + α) M (- n, α + 1, x) = \frac{( α + 1 ) _{n}}{n !}_{1} F_{1} (- n, α + 1, x)

où (a)_n est le symbole de Pochhammer (qui, dans ce cas particulier, est utilisé pour représenter la factorielle croissante a(a + 1)(a + 2)...(a + n − 1)).