Moment (mathématiques)

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Introduction

En probabilités (mathématiques, statistiques), on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre $m_{n} = E [X^{n}]$ .

Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, notamment en calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \to R$ continue sur un intervalle I (non réduit à un point) de $R$ . Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de f est défini (sous réserve d'existence) par :

m_{n} (f) = \int_{I} x^{n} f (x) d x .

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur I dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application $m_{n} : f \mapsto m_{n} (f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Estimation des moments

Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre k:

\overset{m}{^}^{k} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{k}

à partir de l'échantillon $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ .

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

Moments centrés

On définit le moment centré d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre $μ_{n} = E [(X - E (X))^{n}]$ .

Moments remarquables

Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.

Le moment d'ordre un de la variable : $m_{1} = E [X]$ (noté souvent μ, parfois m) correspond à l'espérance
Le moment d'ordre deux de la variable centrée : $μ_{2} = σ^{2} = E [(X - μ)^{2}]$ (notée V(X) ) correspond à la variance.
Le moment d'ordre trois de la variable centrée-réduite : $γ_{1} = \frac{μ _{3}}{σ ^{3}} = E [(\frac{X - μ}{σ})^{3}]$ correspond au coefficient d'asymétrie.
Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite : $β_{2} = \frac{μ _{4}}{σ ^{4}} = E [(\frac{X - μ}{σ})^{4}]$ correspond au kurtosis.

Formules de détermination récursive des moments

En définissant

Les moments par rapport à l'origine (moments ordinaires ou raw moments en anglais):

m_{k} (X) \equiv E [X^{k}]

Les moments centrés, notés généralement $μ_{k} (X)$ et qui se définissent ainsi :

μ_{k} (X) \equiv E [(X - E [X])^{k}]

Il existe des formules (qui ressemblent à celle du binôme) permettant de calculer un moment centré d'ordre k à partir des moments ordinaires d'ordre inférieur ou égal à k, et réciproquement ; voici quelques exemples (jusqu'à l'ordre 4) :

μ_{2} = m_{2} - m_{1}^{2}

μ_{3} = m_{3} - 3 m_{1} m_{2} + 2 m_{1}^{3}

μ_{4} = m_{4} - 4 m_{1} m_{3} + 6 m_{1}^{2} m_{2} - 3 m_{1}^{4}

et :

m_{2} = μ_{2} + m_{1}^{2}

m_{3} = μ_{3} + 3 m_{1} μ_{2} + m_{1}^{3}

m_{4} = μ_{4} + 4 m_{1} μ_{3} + 6 m_{1}^{2} μ_{2} + m_{1}^{4}

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X, définie par

M_{X} (t) = E (e^{tX}), t \in R,

est utilisée afin de générer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Problème des moments

On peut se demander si une fonction continue $f : I \to R$ dont tous les moments existent est déterminée par la suite de ses moments. Cette question est appelée problème des moments.

En d'autres termes : soient deux fonctions continues $f, g : I \to R$ dont chacune admet, pour tout entier naturel n, un moment d'ordre n. Si, pour tout $n \in N, m_{n} (f) = m_{n} (g)$ , peut-on affirmer que f = g ?

D'après un théorème de Hausdorff, la réponse est affirmative lorsque I est un segment $[a, b]$ (c'est-à-dire lorsqu'il est fermé et borné).
Dans le cas général, la réponse est négative. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction $f :] 0, + \infty [\to R^{+}$ définie par $f (x) = \frac{1}{x 2 π} e^{- \frac{1}{2} (l n x)^{2}}$ (densité de la loi log-normale), dont tous les moments existent.

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, $\int_{0}^{+ \infty} x^{n} f (x) sin (2 π ln x) d x = 0$ .

Pour tout $α \in R$ , on définit $g_{α} :] 0, + \infty [\to R$ par $g_{α} (x) = f (x) [1 + α sin (2 π ln x)]$ .

Alors : quels que soient $α \in R$ et $n \in N$ , m_n(g_α) = m_n(f), bien que $g_{α} \neq = f$ dès que $α \neq = 0$ .

Nota : pour tout $α \in R$ , $\int_{0}^{+ \infty} g_{α} (x) d x = 1$ car m₀(g_α) = m₀(f). Or, si on prend $α \in [- 1, + 1]$ , g_α est à valeurs positives : dans ce cas, g_α est une densité de probabilité portée par $R_{+}^{⋆}$ , distincte de f si $α \neq = 0$ , dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de f. Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.