Opérateur de Laplace-Beltrami

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Introduction

L'opérateur de Laplace-Beltrami est une généralisation de l'opérateur laplacien aux variétés riemanniennes. On part de la définition classique $Δ = div grad$ , et l'on est ramené à définir la divergence et le gradient dans le cadre riemannien.

Avertissement : Dans cet article, on utilise la convention de sommation d'Einstein. Même quand le signe somme n'est pas omis, on s'impose la discipline de ne sommer que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.

Divergence associée à une forme volume

Sur une variété différentielle M orientable, la divergence est naturellement associée à une forme volume. Si ω est une telle forme, toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique fω, où f est une fonction. Cela s'applique à la dérivée de Lie de ω par rapport à un champ de vecteurs X. La divergence de X (par rapport à ω) est l'unique fonction telle que $L_{X} ω = (div_{ω} X) ω$ .

D'après la formule $L_{X} = d \circ i_{X} + i_{X} \circ d$ , on a $L_{X} ω = d (i_{X} ω)$ . Donc, d'après la formule de Stokes, si X est à support compact,

\int_{M} (div_{ω} X) ω = \int_{M} d (i_{X} ω) = 0

Si ω s'écrit en cordonnées locales $θ d x^{1} \land \dots d x^{n}$ , on a

L_{X} ω = (L_{X} θ) d x^{1} \land \dots d x^{n} + i = 1 \sum n d x^{1} \land \dots L (d x^{i}) \land \dots d x^{n}

(car $L_{X}$ est une dérivation).

Si $X = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x ^{i}}$ , on a $L_{X} d x^{i} = d (L_{X} x^{i}) = d X^{i}$ , d'où l'on tire $L_{X} ω = (L_{X} θ) d x^{1} \land \dots d x^{n} + θ \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial X ^{i}}{\partial x ^{i}}$ , et finalement, $div ω X = \frac{d θ ( X )}{θ} + \sum i = 1^{n} \frac{\partial X ^{i}}{\partial x ^{i}}$ .

Remarque sur l'orientabilité : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume ω en son oppposée, div_ωX) ne change pas. En fait, la divergence ne dépend que de la densité associée à ω. Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en fait utilisé une orientation locale.

L'exemple le plus important est celui de la divergence définie par la forme volume canonique d'une métrique riemannienne.

d s^{2} = g_{ij} (x) d x^{i} d x^{j}

En coordonnées locales $v_{g} = det (g_{ij}) d x^{1} \land \dots d x^{n}$ . D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable. Le déterminant des g_i**j est souvent noté g, notamment par ceux qui écrivent ds la métrique riemannienne, cela ne porte pas trop à confusion.

Gradient associé à une métrique riemannienne

Le gradient d'une fonction (disons lisse) f est l'unique champ de vecteurs, noté $\nabla f$ , tel que $g (X, \nabla f) = d f (X)$ pour tout champ de vecteurs X. En coordonnées locales,

\nabla f = i = 1 \sum n (j = 1 \sum n g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x ^{j}}) \frac{\partial}{\partial x ^{i}}

Ici, g(x) est l'inverse du tenseur métrique, défini en coordonnées par

g_{ik} (x) g^{k j} (x) = δ_{i}^{j}

où $δ_{i}^{j}$ est le symbole de Kronecker.

Définition et propriétés de base du laplacien

On définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme l'opérateur différentiel du second ordre $Δ f = div (\nabla f)$ .

En coordonnées locales,

Δ = \frac{1}{g} \partial_{i} [g g^{ij} \partial_{j}]

Si f₁ et f₂ sont C et à support compact on a

\int_{M} f_{1} Δ f_{2} v_{g} = - \int_{M} g (\nabla f_{1}, \nabla f_{2}) v_{g} = \int_{M} f_{2} Δ f_{1} v_{g}

Pour le voir, on remarque que si f est une fonction et X un champ de vecteurs,

div f X = f div X + d f (X) = f div X + g (X, \nabla f)

En appliquant cette relation à f = f₁ et $X = \nabla f_{2}$ , on obtient

\int_{M} (f_{1} div \nabla f_{2} + g (\nabla f_{1}, \nabla f_{2})) v_{g} = \int_{M} div (f_{1} \nabla f_{2}) v_{g} = 0

puisque d'après la formule de Stokes l'intégrale de la divergence d'un champ de vecteurs à support compact est nulle.

Cette formule exprime le fait que Δ est un opérateur formellement autoadjoint sur $C^{\infty} (M)$ , par rapport au produit scalaire global, défini par

⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ := \int_{M} f_{1} f_{2} v_{g}

(noter l'analogie avec les opérateurs symétriques en dimension finie.

$⟨ f, Δ f ⟩ = - \int_{M} g (\nabla f, \nabla f) v_{g}$ est négatif ou nul. L'opérateur − Δ est positif (c'est la raison pour laquelle beaucoup de géomètres riemanniens définissent l'opérateur de Laplace comme $- div grad$ ). Enfin, si M est une variété compacte sans bord, les seules fonctions à Laplacien nul sont les constantes (de même que les seules fonctions harmoniques sur un domaine compact de $R^{n}$ , nulles au bord sont les constantes, la preuve est d'ailleurs la même).

Bibliographie

Peter Sarnak ; Spectra of hyperbolic surfaces, Bulletin of the American Mathematical Society 40 (2003), 441-478. Texte disponible en ligne.
Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian geometry, Academic Press.