Mouvement brownien fractionnaire

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Introduction

Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) a été introduit par Kolmogorov en 1940 comme moyen d'engendrer des "spirales" Gaussiennes dans des espaces de Hilbert. Mandelbrot et Van Ness (1968) l'ont rendu célèbre en l'introduisant dans des modèles financiers et en étudiant ces propriétés. Le champ des applications du mBf est immense. En effet, il sert par exemple à recréer certains paysages naturels, notamment des montagnes, mais également en hydrologie, télécommunications, économie, physique,...

Rudiments mathématiques

Définition du mBf

Le mouvement Brownien fractionnaire d'exposant de Hurst $α \in (0, 1),$ noté ${B_{α} (t)}_{t \in R},$ est l'unique processus Gaussien centré et continu dont la covariance est donnée par:

E (B_{α} (s) B_{α} (t)) = \frac{C _{α}}{2} (∣ s ∣^{2 α} + ∣ t ∣^{2 α} - ∣ s - t ∣^{2 α}),

où C_α = Var(B_α(1)) est une constante positive qui ne dépend que de α . Lorsque C_α = 1, nous obtenons le mBf standard. Le mBf est l'une des généralisations les plus naturelles du Brownien. En effet,

Lorsque α > 1 / 2, B_α est une primitive fractionnaire du mouvement brownien.
lorsque α < 1 / 2, il est une dérivée fractionnaire du mouvement brownien.
B_{1 / 2} se réduit a un mouvement brownien.

Deux Représentations équivalentes du mBf

Représentation par moyenne mobile du mBf

Dans les travaux de Mandelbrot et Van Ness (1968), le Mouvement Brownien Fractionnaire est défini, à une constante multiplicative près, par l'intégrale de Wiener suivante :

B_{α} (s) := \int_{R} [(t - s) +^{α - 1/2} - (- s) +^{α - 1/2}] dB (s),

où x ₊ = max{x,0} et d**B est un bruit blanc réel.

Représentation Harmonisable du mBf

Samorodnitsky et Taqqu (1994) ont montré que le Mouvement Brownien Fractionnaire B_α(s) peut être représentée par l'intégrale stochastique suivante :

B_{α} (s) := \int_{R} \frac{e ^{i s ξ} - 1}{∣ ξ ∣ ^{α + 1/2}} dB (ξ) .

ou bien

B_{α} (s) := \int_{R} \frac{e ^{i s ξ} - 1}{i ξ ∣ ξ ∣ ^{α - 1/2}} dB (ξ) .

$dB$ est la Transformée de Fourier du bruit blanc dB à valeurs réelles : pour tout $f \in L^{2} (R)$ ,

\int_{R} f (s) dB (s) = \int_{R} \hat{f} (ξ) dB (ξ) .

Propriétés principales du mBf

Auto-similarité du mBf Le mBf de paramètre de Hurst α est un processus α-auto similaire : ce qui signifie que

\forall a > 0, {B_{α} (a t)} t \in R = l o i {a^{α} B α (t)}_{t \in R} .

A accoissements stationnaires Le mBf est un processus à accroissements stationnaires : c'est-à-dire

\forall s \in R, {B_{α} (t + s) - B_{α} (s)}_{t \in R} = l o i {B_{α} (t) - B_{α} (0)}_{t \in R} .

Longue dépendance Lorsque α > 1 / 2, le mBf possède la propriété de longue dépendance. Cette propriété

est décrite de manière suivante :

\forall j \in Z, Z_{α} = B_{α} (j + 1) - B_{α} (j),

ensuite posons

\forall (i, j) \in Z^{2}, Γ (i - j) = E {Z_{α} (i) Z_{α} (j)}

alors

p \in Z \sum Γ (p) = + \infty

Cela signifie que les valeurs du mBf entre deux temps espacés ont une petite corrélation mais non négligeable (non sommable!).

Continuité Le mBf est un processus admettant des trajectoires continues, nulle part dérivables.

Régularité Höldérienne du mBf

L'objectif de cette section, est de donner les éléments qui permettent de connaitre plus précisément la régularité du mBf. Pour cela, on introduit la quantité suivante :

Exposant de Hölder uniforme

Soient ${Y (t)}_{t \in R}$ un processus stochastique possédant des trajectoires continues, nulle-part dérivables et [a,b] un intervalle compact de $R .$ On définit l'exposant de Hölder uniforme de Y sur [a,b], noté (EHU), par

h_{Y} ([a, b]) = sup {h \geq 0 : x_{1}, x_{2} \in [a, b] sup \frac{∣ Y ( x _{1} ) - Y ( x _{2} ) ∣}{∣ x _{1} - x _{2} ∣ ^{h}} < + \infty} .

Cet exposant vérifie la propriété suivante : sur tout intervalle compact $[a, b] \subset R$ , avec probabilité 1 $0 \leq h_{Y} ([a, b]) \leq 1.$

Interprétation : Plus cet exposant, h_Y([a,b]), est proche de 1, plus le processus est régulier sur le segment [a,b].

Dans le cas du mBf, B_α, l'exposant de Hölder uniforme $h_{B_{α}}$ vérifie, avec probabilité 1, pour tout $[a, b] \subset R$ ,

h_{B_{α}} ([a, b]) = α .

Les graphes suivants montrent que la régularité uniforme du mBf peut être prescrite via son paramètre de Hurst α.

Estimation de l'exposant de Hölder uniforme du mBf

Dans cette section, nous introduisons un estimateur de l'exposant de Hölder uniforme α du mBf B_α à partir des observations d'une trajectoire discrétisée sur l'intervalle [0,1]. Plus précisément, soit $N \in N$ , supposons que nous observons le mBf standard $B_{H} (i / N), i = 0, \dots, N$ .

Idée pour un mBf standard, nous avons pour tous $s, t \in R$ ,

E (∣ B_{α} (t) - B_{α} (s) ∣^{2}) = ∣ t - s ∣^{2 α} .

Il résulte du Théorème ergodique et la continuité de trajectoire du mBf que

\frac{\sum _{i = 0}^{N - 1} ( B _{α} ( \frac{i + 1}{N} ) - B _{α} ( \frac{i}{N} ) ) ^{2}}{N ^{1 - 2 α}} p . s . N \to + \infty 1.

Construction de l'estimateur : notons par

V_{N} := i = 0 \sum N - 1 (B_{α} (\frac{i + 1}{N}) - B_{α} (\frac{i}{N}))^{2},

alors

\overset{α}{^}_{N} := \frac{1}{2} (1 - \frac{lo g ( V _{N} )}{lo g ( N )})

est un estimateur fortement consistant de α : nous avons

\overset{α}{^}_{N} p . s . N \to + \infty α .