Nombre p-adique

En théorie des nombres, si p est un nombre premier, un nombre p-adique est un objet mathématique qui peut se concevoir comme une suite de chiffres en base p, éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule). Avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels, l'ensemble des nombres p-adiques forme un corps noté ${\mathbb{Q}}_p$. Un nombre 2-adique est parfois appelé « diadique » mais ne doit pas être confondu avec une fraction dyadique. Un nombre 3-adique est parfois appelé « triadique ».

Chaque corps ${\mathbb{Q}}_p$ des nombres p-adiques est construit par complétion du corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une « norme » particulière (au sens anglophone, c'est-à-dire ici d'une valeur absolue) nommée norme p-adique. Cette construction s'apparente à celle du corps $\mathbb{R}$ des nombres réels par complétion du corps des rationnels suivant la valeur absolue usuelle.

La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la norme p-adique sur le corps ${\mathbb{Q}}_p$ est une norme non-archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.

Approche analytique

Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels. Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne.

Pour un nombre premier donné p, on définit la norme p-adique sur $\mathbb{Q}$ comme suit :

on appelle valuation p-adique d'un entier a non nul (et l'on note v_p(a)) l'exposant de p dans la décomposition de a en produit de facteurs premiers.

on peut alors construire une valuation pour tout nombre rationnel non nul en posant :

$v_p\left(\frac{a}{b}\right)=v_p(a)-v_p(b)$.

On prouve aisément que cette définition est indépendante du représentant du rationnel choisi.

La norme p-adique | r | _p d'un rationnel r non nul vaut $p^{-v_p(r)}$.

Si r est nul, on pose | r | _p = 0. Ce prolongement est compatible avec l'idée que 0 est divisible par p pour toute valeur de k, donc que la valuation de 0 serait infinie.

En quelque sorte, plus r est divisible par p, plus sa norme p-adique est petite (c'est un cas particulier de valuation discrète, un outil algébrique).

Par exemple, pour $r=\frac{63}{550}=2^{-1}\times 3^2\times 5^{-2}\times 7\times 11^{-1}$ :

$|r{|}_p=1$ pour tout autre nombre premier.

On démontre que cette application a toutes les propriétés d'une norme. On peut montrer que toute norme (non-triviale) sur $\mathbb{Q}$ est équivalente soit à la norme euclidienne, soit à une norme p-adique (théorème d'Ostrowski). Une norme p-adique définit une métrique d_p sur $\mathbb{Q}$ en posant :

d_p(x,y) = | x − y | _p

Le corps ${\mathbb{Q}}_p$ des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique ($\mathbb{Q}$, d_p). Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui contient $\mathbb{Q}$.

Cette construction permet de comprendre pourquoi ${\mathbb{Q}}_p$ est un analogue arithmétique de $\mathbb{R}$.

Quelques différences analytiques entre ${\mathbb{Q}}_p$ et $\mathbb{R}$. Outre le fait que, par construction, ${\mathbb{Q}}_p$ et $\mathbb{R}$ sont des espaces métriques complets, il faut avoir noté que le monde p-adique se comporte de façon très différente du monde réel et ceci commence par le fait la distance d_p est ultramétrique au sens où :

pour tous x,y,z dans ${\mathbb{Q}}_p$. Ceci a pour conséquences (non exhaustives) que :

- tout triangle est isocèle,

- toute boule est centrée en n'importe lequel de ses points,

- deux boules sont soit incluses l'une dans l'autre, soit disjointes,

- dans ${\mathbb{Q}}_p$, la suite $(p^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers 0,

- si dans ${\mathbb{Q}}_p$ une suite (u_n) converge vers $x\ne 0$, alors | u_n | _p est constante à partir d'un certain rang,

- une suite (u_n) est de Cauchy si et seulement si ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_{n+1}-u_n=0$,

- une série Σ(a_n) converge si et seulement si ${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=0$,

- il n'y a pas d'ordre de corps sur ${\mathbb{Q}}_p$,

- ${\mathbb{Q}}_p$ est un espace totalement discontinu, c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe,

- etc.

Approche algébrique

Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau des entiers p-adiques, puis par construction le corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques.

On définit l'anneau des entiers p-adiques ${\mathbb{Z}}_p$ comme la limite projective des anneaux $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. Un entier p-adique est alors une suite $(a_n{)}_{n\ge 1}$ telle que $a_n\in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ et que, si n < m, a_n = a_m[p].

Par exemple, 35 en tant que nombre 2-adique serait la suite $(1,3,3,3,3,35,35,35\dots )$.

Explication : 35 = 1 + 2 + 2 qu'on peut écrire aussi $35=1+(2^1)+(0\times 2^2)+(0\times 2^3)+(0\times 2^4)+(2^5)+(0\times 2^6)+\dots$. La suite (a_n) s'obtient en faisant les sommes cumulées des x_i2 (où $x_i\in \{0;1\}$) :

a₁ = 1,

a₂ = 1 + 2 = 3,

a₃ = 1 + 2 + 0 = 3,

a₄ = 1 + 2 + 0 + 0 = 3,

a₅ = 1 + 2 + 0 + 0 + 0 = 3,

a₆ = 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 35, etc.

On a bien, pour tout n, $0⩽a_n<2^n$ et $a_n=a_{n+1}[2^n]$ puisque a_{n + 1} = a_n + x_{n + 1}2.

L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies, puisqu'elles commutent avec l'opérateur modulo (voir arithmétique modulaire). De plus, toute suite (a_n) dont le premier élément n'est pas nul a un inverse.

L'anneau des entiers p-adiques ne possédant pas de diviseurs de zéro, il est possible de considérer son corps des fractions pour obtenir le corps ${\mathbb{Q}}_p$ des nombres p-adiques.

On montre facilement que ${\mathbb{Q}}_p$ s'obtient en ajoutant l'élément $\frac{1}{p}$ à l'anneau ${\mathbb{Z}}_p$, ce qu'on note : ${\mathbb{Q}}_p={\mathbb{Z}}_p[\frac{1}{p}]$. Ceci n'a pas d'équivalent pour le passage de $\mathbb{Z}$ à son corps des fractions $\mathbb{Q}$, mais par exemple l'ensemble des nombres décimaux (que l'on note $\mathbb{D}$ dans les classes élémentaires) est un anneau obtenu en ajoutant $\frac{1}{10}$ à $\mathbb{Z}$ ; on dit qu'on a "rendu 10 inversible" dans $\mathbb{Z}$ ou encore qu'on a "localisé" $\mathbb{Z}$ en 10.

Soit p un nombre premier. Tout élément non nul r de ${\mathbb{Q}}_p$ (et en particulier tout élément de $\mathbb{Q}$) s'écrit de manière unique sous la forme :

où $k\in \mathbb{Z}$ et les a_i sont des nombres entiers compris entre 0 et p − 1. Cette écriture est la décomposition canonique de r comme nombre p-adique.

Cette série est convergente suivant la métrique p-adique.

On note ${\mathbb{Z}}_p$ l'ensemble des éléments de ${\mathbb{Q}}_p$ tels que $k\ge 0$ et on l'appelle ensemble des entiers p-adiques. ${\mathbb{Z}}_p$ est un sous-anneau de ${\mathbb{Q}}_p$. On peut représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base p, tandis que les autres éléments de ${\mathbb{Q}}_p$, eux, auront un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.

Par exemple, avec p = 2 :

• $1=1\times 2^0=\dots 000001_2$ (le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique de 1)
• $-1={\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^n=\dots 11111111111111_2$ : on peut vérifier que, puisque $\dots 001_2+\dots 001_2=\dots 0010_2$, ajouter 1 à cette écriture conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0.
• $3=\dots 000011_2$
• $\frac{1}{3}=1+{\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^{2n+1}=\dots 01010101011_2$ : en multipliant ce résultat par $\dots 000011_2$, on retrouve 1. On remarque que $\frac{1}{3}$ est un entier 2-adique (i.e. $\frac{1}{3}\in {\mathbb{Z}}_2$), mais on le savait déjà en regardant sa valuation : $v_2\left(\frac{1}{3}\right)=0$.
• ${\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^{2^n}$ représente un élément de ${\mathbb{Q}}_2$ (et même de ${\mathbb{Z}}_2$) qui n'est pas dans $\mathbb{Z}$.
• Le polynôme 2X + X + 2 se factorise dans ${\mathbb{Z}}_2$ sous la forme (X − a)(2X − b) avec $a=\dots 0111001000100110110_2$ et $b=\dots 0001101110110010011_2$, alors qu'il est irréductible dans $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$. On a 2a + b = − 1 et a**b = 2.

Un autre exemple, avec p = 7 :

2 n'a pas de racine carrée dans $\mathbb{Q}$ mais en possède deux dans ${\mathbb{Q}}_7$, à savoir : $\sqrt{2}=...16244246442640361054365536623164112011266421216213_7$ et son opposé : $-\sqrt{2}=...50422420224026305612301130043502554655400245450454_7$

Comment calculer dans ${\mathbb{Q}}_p$

• L'addition est tout à fait similaire à celle de $\mathbb{R}$, avec le même système de retenues :

Exemple : dans ${\mathbb{Q}}_5$

• La multiplication se fait de façon analogue :

Exemple : dans ${\mathbb{Q}}_5$

• La division de deux entiers dans $\mathbb{Z}$ .

Exemple 1 : Ecrivons $\frac{1}{3}$ dans ${\mathbb{Q}}_7$. Remarquons tout d'abord que $\frac{1}{3}\in {\mathbb{Z}}_7$ car sa valuation 7-adique est 0. Ainsi $\frac{1}{3}=\dots a_2{a}_1{a}_0$ avec $0⩽a_i<7$.

3 est inversible modulo 7 puisque $3\times 5=1+2\times 7\equiv 1[7]$. Ceci permet d'ailleurs d'écrire la relation de Bézout suivante :

d'où :

$\frac{1}{3}=5+7\times \frac{-2}{3}$ et à ce stade on a : $\frac{1}{3}=\dots a_2{a}_{1}5$

Continuons et multiplions ( * ) par -2 :

$-2=3\times (-10)+7\times (4)$ et arrangeons pour obtenir des coefficients entre 0 et 6 :

d'où :

$\frac{-2}{3}=4+7\times \frac{-2}{3}$ et on observe une périodicité puisqu'on retombe sur $\frac{-2}{3}$.

Au bilan : $\frac{1}{3}=5+7\times \frac{-2}{3}=5+7\times \left(4+7\times \left(4+7\times \dots \right)\right)$ c'est-à-dire : $\frac{1}{3}=5+4\times 7+4\times 7^2+\dots$ d'où l'écriture 7-adique :

Exemple 2 : Ecrivons $\frac{4}{21}$ dans ${\mathbb{Q}}_7$. Remarquons tout d'abord que $\frac{4}{21}\notin {\mathbb{Z}}_7$ car sa valuation 7-adique est -1 : ce sera donc un nombre 7-adique "à virgule".

On écrit : $\frac{4}{21}=\frac{1}{7}\times \left(4\times \frac{1}{3}\right)$

Or on sait que $\frac{1}{3}=\dots 4445_7$ donc en multipliant par 4 :

Il ne reste plus qu'à diviser par 7, mais ceci revient à décaler la virgule vers la gauche (on est en base 7) :

Dénombrabilité

L'ensemble des entiers p-adiques n'est pas dénombrable.

Les nombres p-adiques contiennent les nombres rationnels et forment un corps de caractéristique nulle. Il n'est pas possible d'en faire un corps ordonné.

Topologie

La topologie sur l'ensemble des entiers p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor ; la topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor privé d'un point (qui serait naturellement appelé infini). En particulier, l'espace des entiers p-adiques est compact, tandis que l'espace des nombres p-adiques ne l'est que localement. En tant qu'espaces métriques, les entiers et les nombres p-adiques sont complets.

Les nombres réels n'ont qu'une seule extension algébrique propre, les nombres complexes. En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close. En revanche, la clôture algébrique des nombres p-adiques est de degré infini : les corps ${\mathbb{Q}}_p$ ont une infinité d'extensions algébriques non équivalentes. De plus, la clôture algébrique d'un ${\mathbb{Q}}_p$ n'est pas complète. Sa complétion métrique est appelée Ω et elle est algébriquement close.

Le corps Ω, aussi noté ${\mathbb{C}}_p$, est abstraitement isomorphe au corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes et il est possible de considérer le premier comme le dernier, muni d'une métrique exotique. Cependant, l'existence d'un tel isomorphisme est une conséquence de l'axiome du choix et il n'est pas possible d'en expliciter un.

Les nombres p-adiques contiennent le n corps cyclotomique si et seulement si n divise p − 1. Par exemple, les 1, 2, 3, 4, 6 et 12 corps cyclotomiques sont des sous-corps de ${\mathbb{Q}}_{13}$.

Le nombre e (défini par la série $\sum 1/n!$) n'est élément d'aucun des corps p-adiques. Cependant, e (défini par la série $\sum p^n/n!$) est un nombre p-adique (sauf si p = 2, mais e est un nombre 2-adique), aussi e, défini comme une racine p-ème de e, est un élément de la clôture algébrique de n'importe quel corps p-adique ; ainsi quel que soit p, e appartient à ${\mathbb{C}}_p$.

Sur les nombres réels, les seules fonctions dont les dérivées sont nulles sont les fonctions constantes. Ceci n'est pas vrai sur les nombres p-adiques. Par exemple, la fonction

possède une dérivée nulle en tous points, mais n'est même pas constante localement en 0.

Si on se donne les éléments $r,r_2,r_3,r_5,r_7\dots$ respectivement membres de $\mathbb{R},{\mathbb{Q}}_2,{\mathbb{Q}}_3,{\mathbb{Q}}_5,{\mathbb{Q}}_7\dots$, il est possible de trouver une suite (x_n) de $\mathbb{Q}$ telle que la limite des x_n dans $\mathbb{R}$ soit r et, pour tout p premier, elle soit r_p dans ${\mathbb{Q}}_p$.

Rationalité

Un nombre positif γ₀ est rationnel si, et seulement si, son développement p-adique est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire, s'il existe 2 entiers $N\ge 0$ et k > 0 tel que $\forall n\ge N,a_{n+k}=a_k$ (La suite a_n représentant le développement p-adique du nombre γ₀)