Pendule de Huygens

En physique, le dispositif appelé pendule de Huygens, en l'honneur du physicien Christiaan Huygens, est constitué d'un point matériel M, pesant, se déplaçant sur une parabole d'équation $z=x^2/2p$, dans un plan tournant à la vitesse angulaire $\omega$, d'axe vertical.

Il ne mérite de fait pas son appellation de « pendule » puisqu'il n'oscille pas. Néanmoins il fournit un résultat intéressant pour la compréhension du pendule conique.

Huygens a imaginé une came d'équation :

$z_p=\frac{3}{2}(p{x}^2{)}^{1/3}$,

c'est-à-dire l'équation de la développée de la parabole.

On constate que si le point dépasse une certaine vitesse angulaire critique, donnée par :

il se retrouve soit en bas, soit en haut du dispositif. Le cas d'équilibre indifférent est atteint quand la vitesse angulaire de son déplacement est égale à cette vitesse critique.

On considère les énergies potentielles des forces en présence dans le référentiel tournant :

• l'énergie potentielle de pesanteur $mgz$, avec $z=r^2/2p$, soit

$E_p=\frac{mg{r}^2}{2p}$ ;

• l'énergie potentielle dont dérive la force d'entraînement (axifuge, ou « centrifuge ») :

$E_e=-m{\omega }^2\frac{r^2}{2}$.

Le mobile M se situe, à l'équilibre, au point où l'énergie totale $E=E_p+E_e$ atteint un extrémum, c'est-à-dire au point où sa dérivée s'annule :

C'est-à-dire lorsque :

${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{p}}$.

Lorsque $r=0$, M se trouve en bas de la parabole. Lorsque $\omega ={\omega }_0$ toute la parabole se trouve à l'équilibre, M reste immobile, là où il se trouvait lorsque la vitesse critique a été atteinte. Le cas où M se trouve en haut est un cas hors équilibre, dû aux contraintes physiques posées par la came.

On peut observer la parabole de Huygens avec un liquide :

• on emprisonne de l'eau colorée entre deux plans transparent verticaux et très proches, pour obtenir un film de liquide (qui ne remplit pas entièrement l'espace entre les deux plans) ;
• on met l'ensemble en rotation autour d'un axe vertical à la vitesse ${\omega }_0$ quelconque (fixée par l'expérimentateur).

On remarque alors que la surface du liquide se courbe, pour adopter la forme d'une parabole, d'équation identique à celle de la came de Huygens, avec le paramètre $p$ valant $\frac{g}{{\omega }_0^2}$.