Produit direct (groupes)

En mathématiques et plus précisément dans le cadre de la théorie des groupes, le produit direct est une méthode permettant, à partir de plusieurs groupes, d'en construire un nouveau.

Le produit direct correspond à une extension dans le sens où la structure obtenue contient des sous-structures isomorphes à celles définissant le produit. Cette méthode, appliquée aux groupes permet de classifier les trois grands cas de groupes abéliens : ceux fini, ceux de type fini et les groupes de Lie de dimension finie et ayant un nombre fini de composantes connexes.

Dans tout cet article, n est un entier strictement positif, (G₁,*₁), (G₂,*₂) ... (G_n,*_n) désignent des groupes, d'éléments neutres respectifs e₁, e₂, ..., e_n.

Le produit direct correspond à l'opération du produit cartésien avec le transfert de l'opération des groupes. Une généralisation du produit cartésien pour rendre compatible une structure algébrique est fréquente, on peut citer par exemple l'espace vectoriel, le module sur un anneau, l'algèbre sur un corps ou encore dans une moindre mesure (car l'intégrité, si elle existait, disparaît) l'anneau.

Cette approche offre un premier service : le produit direct est un outil permettant de construire de nouveaux groupes, il étend ainsi le nombre d'exemples aisément accessibles pour étudier la théorie.

Il existe un autre intérêt plus profond, celui de la classification des éléments de la structure étudiée. La classification permet de connaître, pour chaque élément les propriétés exactes dont il bénéficie ainsi que les autres éléments de la structure bénéficiant des mêmes propriétés. Un exemple de classification est celui des espaces vectoriels sur un corps K de dimension finie. La dimension classifie exactement tous ces espaces vectoriels.

Une approche fréquente est celle de l'extension, elle consiste, à partir par exemple d'un groupe, à construire un nouveau groupe contenant le précédent. En ce sens, le produit direct est une extension d'un groupe. Cette méthode, d'extension par produit, est celle utilisée pour les espaces vectoriel et tout espace vectoriel sur K de dimension finie est isomorphe à un produit de l'espace vectoriel K (de dimension un). Plus l'espace des objets construits grâce à l'extension est vaste, plus le champ d'application de l'extension est large.

Dans le cas des groupes, le produit direct est une technique d'extension couvrant très largement le cas commutatif. Si le groupe est abélien et possède suffisamment de bonnes propriétés, alors il est produit direct de groupes abéliens de la même catégorie et sa structure est particulièrement simple. Les trois cas les plus importants sont cités dans cet article.

Dans le cas non abélien, d'autres méthodes d'extension sont nécessaires, c'est la raison d'être, par exemple du produit semi-direct.

Groupe de Klein

Soit G l'unique groupe d'ordre deux, isomorphe au groupe cyclique d'ordre deux Z/2Z. Sa table est la suivante :

Le groupe produit GxG est un groupe de quatre éléments dont la table est la suivante:

Le groupe obtenu est isomorphe au groupe de Klein, le seul groupe abélien d'ordre quatre, dont tous les éléments ont eux-mêmes pour inverse.

Produit trivial

Soit {e} le groupe réduit à un élément, Gx{e} est un produit de groupe isomorphe à G. On parle alors de produit trivial.

Groupe cyclique

Il est possible de se poser la question inverse, soit G un groupe, par exemple un groupe cyclique d'ordre g, G est-il un produit non trivial de certains de ses sous-groupes. La réponse est donnée par le Théorème des restes chinois.

• G est isomorphe à un produit non trivial de sous-groupes si et seulement s'il existe deux entiers a et b premiers entre eux tel que leur produit soit égal à g.

Dans ce cas, G est isomorphe au produit direct des deux groupes Z/a.Z et Z/b.Z.

Remarque : La démonstration est donnée dans l'article associé.

Propriétés élémentaires

Dans le cas où G₁ et G₂ sont de cardinaux finis, les propriétés du produit cartésien montrent que :

• L'ordre de G est égal au produit des ordres de G*₁ et* G*₂.*
• Si G*₁ et* G*₂ sont deux groupes abéliens alors leur produit direct l'est aussi.*

Cette propriété est une conséquence directe de la définition. En effet, si G₁ et G₂ sont deux groupes abéliens :

Dans le cas général, notons i₁ (resp. i₂) l'application de G₁ (resp. G₂) dans G qui à x associe (x, e₂) (resp. (e₁, x). Le sous-groupe image de i₁ (resp. i₂) est noté H₁ (resp. H₂). Enfin l'application s₁ (resp. s₂) de G dans G₁ (resp. G₂) est défini par s₁(x₁, x₂) = x₁ (resp. s₂(x₁, x₂) = x₂).

• Les applications i*₁ et* i*₂ sont des morphismes injectifs.*
• Les applications s*₁ et* s*₂ sont des morphismes surjectifs.*
• Les deux suites suivantes sont des suites exactes.

Sous-groupes H₁ et H₂

Ici, H₁ et H₂ désignent les sous-groupes G₁ x {e} et {e} x G₂. Les sous-groupes H₁ et H₂ possèdent des propriétés caractéristiques d'un produit de groupes :

• H*₁ (resp.* H*₂) est un sous-groupe distingué isomorphe à* G*₁ et (resp.* G*₂).*

En effet, H₁ est l'image de G₁ par i₁ un morphisme injectif, les deux structures sont donc isomorphes. De plus H₁ est le noyau de s₂, c'est donc un sous-groupe distingué. Un raisonnement analogue montre le résultat équivalent pour H₂.

• Tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H*₁ et d'un élément de* H*₂.*

Cette proposition est une conséquence immédiate de la définition de produit direct :

• Tout élément de H*₁ commute avec tout élément de* H*₂.*

Par définition un élément de H₁ (resp. H₂) est de la forme (x₁, e₂) (resp. (e₁, x₂)), en conséquence :

La problématique réciproque est la suivante, soit G un groupe, existe-t-il deux sous-groupes H₁ et H₂ de G non triviaux (c’est-à-dire différents de {e} et G) tel que G soit isomorphe au produit direct de H₁ et H₂ ?

La réponse est parfois positive, comme le montre l'exemple des groupes cycliques. Ce n'est pas toujours le cas, le groupe symétrique d'ordre trois, contenant les permutations d'un ensemble de trois éléments, contient six éléments. Les seuls sous-groupes non triviaux ont pour cardinal deux ou trois. Or les seuls groupes de cardinal deux ou trois sont des groupes cycliques donc abéliens. Comme le produit direct de deux groupes abéliens est abélien et que le groupe symétrique d'ordre trois est non commutatif, il n'est pas produit direct non trivial de deux sous-groupes.

Condition nécessaire et suffisante

Soit H₁ et H₂ deux sous-groupes d'un groupe G, les propriétés élémentaires offrent une condition nécessaire pour qu'ils correspondent à un produit direct. Tout élément de G s'écrit comme produit d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂ et tout élément de H₁ commute avec tout élément de H₂. Cette condition n'est pas seulement nécessaire, mais aussi suffisante :

• L'application φ de H₁xH₂ dans G qui, à (h₁, h₂) associe h₁*h₂ est un isomorphisme de groupe, si et seulement si :

Le fait que φ soit un morphisme provient directement de la condition (i), en effet :

La condition (ii) exprime exactement le fait que φ est bijective. La démonstration est donc achevée.

Somme directe

Soient H₁ et H₂ deux sous-groupes de G. On dit que la somme de H₁ et de H₂ est égale à G si et seulement si le groupe engendré par les éléments de H₁ et de H₂ est égal au groupe entier G et si tout élément de H₁ commute avec tout élément de H₂.

Si, de plus l'intersection de H₁ et de H₂ est réduit à l'élément neutre, alors la somme est dite directe et la notation suivante est utilisée :

• La somme directe de H*₁ et de* H*₂ est égale à* G si et seulement si tout élément de G s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de H*₁ et d'un élément de* H*₂.*

Cette définition se généralise à n sous-groupes.

La somme directe possède bien des analogies avec son homologue en algèbre linéaire (cf. Somme directe). Soit H₁ et H₂ deux sous-groupes de G, alors :

• La somme directe de H*₁ et de* H*₂ est égale à* G, si G est isomorphe au produit direct de H*₁ et de* H*₂.*

Projecteur

Une approche, un peu analogue à celle des espaces vectoriel, donne une équivalence entre un produit direct et un morphisme particulier appelé projecteur. Soit G un groupe, H₁ et H₂ deux sous-groupes de G tel que l'application φ du paragraphe précédent soit un isomorphisme. Alors tout élément g de G s'écrit de manière unique h₁*h₂ où h_i est élément de H_i. Soit p l'application de G dans G qui à g associe h₁. Elle bénéficie des propriétés suivantes :

• La fonction p est un morphisme de groupe, tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

Ici o désigne la composition des fonctions.

L'analogie avec les espaces vectoriels donne lieu à la définition suivante :

• Un projecteur p de G est un morphisme de G dans G tel que tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

La donnée d'un projecteur permet une décomposition de G en produit direct :

• Soit p un projecteur de G, alors G est isomorphe au produit direct de l'image de p et du noyau de p.

Dans le cas où G est abélien, tout morphisme dont le carré est égal à lui-même est un projecteur, en effet tout élément du groupe commute avec tout élément du groupe.

Cette propriété peut se reformuler de la manière suivante. Toute suite exacte :

telle que G est abélien, et qu'il existe une section G/H dans G qui se factorise en un produit direct $G\simeq H\times G/H$.

Le cas général ne peut être traité, il est trop vaste, il est donc nécessaire d'apporter des hypothèses supplémentaires. Ces hypothèses correspondent essentiellement à trois cas, traités ici.

Groupe abélien fini

Le cas le plus simple est celui ou le groupe G est fini. Un premier exemple est donné par les groupes cycliques, ils suffisent pour générer, à l'aide du produit direct tous les groupes abéliens finis.

• Il existe une suite d'entiers strictement positifs (a₁,a₂,...,a_k) tel que G est isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite.

Ce qui s'écrit de la manière suivante :

Groupe abélien de type fini

Le deuxième cas est d'une nature proche du cas précédent. Il correspond aux groupes contenant une partie génératrice finie. Il existe ainsi au moins un groupe qui n'est pas élément de l'ensemble précédent, celui des entiers Z. On démontre (dans l'article associé) qu'il est l'unique générateur à ajouter pour obtenir tous les groupes abéliens de type fini.

• Pour tout groupe abélien G de type fini, il existe un entier n et un groupe fini F tel que G est isomorphe au produit direct de F et de Z*.*

Groupe de Lie commutatif

Les deux catégories précédentes sont dénombrables. Il existe pourtant des groupes importants qui ne le sont pas, on peut citer par exemple le cas des isométries linéaires du plan utilisé précédemment. Il est alors nécessaire d'adjoindre trois hypothèses : le groupe dispose d'une structure de variété différentielle compatible avec le groupe (on parle de groupe de Lie), l'espace tangent est de dimension finie et le nombre de composantes connexes du groupe est fini. La propriété suivante est alors vérifiée :

• Tout groupe de Lie de dimension finie et ayant un nombre fini de composantes connexes est isomorphe à un produit direct d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension finie et d'un tore maximal.