Quadrique

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une quadrique, ou surface quadratique, est une surface de l'espace euclidien de dimension 3, lieu des points vérifiant une équation cartésienne de degré 2

A**x + B**y + C**z + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + G**x + H**y + I**z + J = 0

les coefficients A à J étant réels, avec A,B,C,D,E,F non tous nuls.

Plus généralement, on peut considérer les quadriques dans le cadre des espaces affines, de dimension 3 ou plus. Ce sont alors des hypersurfaces, lieu d'annulation d'un polynôme de degré 2. On peut également les étudier dans le cadre de la géométrie projective, qui simplifie et unifie complètement les résultats. On peut enfin prendre un autre corps de base que celui des réels.

Classification en géométrie euclidienne

Présentation des quadriques non dégénérées

Elles sont décrites ci-dessous à partir de leurs équations réduites dans un repère orthonormé convenable.

L'ellipsoïde	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$
L'hyperboloïde à une nappe (H1)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}-1=0$,
L'hyperboloïde à deux nappes (H2)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}+1=0$,
Le paraboloïde elliptique (PE)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$,
Le paraboloïde hyperbolique (PH)	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$,
Le cône à base elliptique	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$,
Le cylindre elliptique	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$,
Le cylindre hyperbolique	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0$ ,
Le cylindre parabolique	$x^2=2py$.

Classification générale

L' équation de la surface peut s'écrire :

où Q désigne la forme quadratique

de matrice :

dont les valeurs propres sont toutes réelles puisque cette matrice est symétrique réelle.

La signature de la forme quadratique est le couple (p,q) où p est le nombre de valeurs propres strictement positives de Q et q le nombre de valeurs propres strictement négatives. Le rang de Q est alors p+q. Par définition d'une quadrique, le rang de Q ne peut être nul.

Lorsque le rang est égal à 3, la quadrique admet un centre de symétrie.

Classification en géométrie affine

Classification en géométrie projective

Quadrique en dimension quelconque

Plus généralement, dans un espace de dimension D, si les coordonnées de l'espace sont $\{x_1,x_2,\dots ,x_D\}$, la quadrique générale est une hypersurface définie par l'équation algébrique :

pour un choix spécifique de Q, P et R.

L'équation normalisée pour une quadrique non dégénérée centrée à l'origine est de la forme :

En modélisation d'image

Pour une surface d'équation $z=f(x,y)$, la formule de Taylor-Young fournit une approximation locale de la surface par la quadrique d'équation:

avec les notations dites de Monge $p=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b),q=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b),r=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(a,b),t=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(a,b),s=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(a,b).$

Cette approximation locale est exploitée en modélisation d'images , où elle fournit des résultats intéressants.