Théorème de Stampacchia

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Introduction

Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.

Énoncé

Soient

$H$ un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté $⟨ ., . ⟩$
$K$ une partie convexe fermée non vide de $H$
$a (., .)$ une forme bilinéaire qui soit
continue sur $H \times H$ : $\exists c > 0 \forall u, v \in H ∣ a (u, v) ∣ \leq c ∣ u ∣∣ v ∣$
coercive sur $H$ :
$L (.)$ une forme linéaire continue sur $H$

Sous ces conditions, il existe un unique u de K tel que

(1) \forall v \in K a (u, v - u) \geq L (v - u)

Si de plus la forme bilinéaire a est symétrique, alors ce même u est l'unique élément de K qui minimise la fonctionnelle $I : H \to R$ définie par $I (v) = \frac{1}{2} a (v, v) - L (v)$ pour tout $v$ de $K$ , en particulier :

(2) \exists! u \in K I (u) = v \in K min I (v)

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f \in H$ tel que

\forall v \in H, Lv = ⟨ f, v ⟩ .

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A \in L (H)$ tel que

\forall u, v \in H, a (u, v) = ⟨ A u, v ⟩ .

De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où

(3) \forall u \in H ∣ A (u) ∣ \leq c ∣ u ∣

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

\exists! u \in K \forall v \in K ⟨ f - A (u), v - u ⟩ \leq 0

Pour tout réel r strictement positif, c'est également équivalent à

\exists! u \in K \forall v \in K \forall r > 0 ⟨ r f - r A (u) + u - u, v - u ⟩ \leq 0

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente

\exists! u \in K \forall r > 0 u = p_{K} (r f - r A (u) + u)

où p_K est l'opérateur de projection sur K. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer qu'il existe un unique $u \in K$ qui vérifie l'équation de point fixe u = P(u) où l'application $P : K \to K$ est définie par $P (v) = p_{K} (r f - r A (v) + v)$ .

Pour cela, montrons que P est une application contractante. Soient x et y deux éléments de K. Comme l'opérateur de projection p_K est 1-lipschitzienne, on a

∣ P (x) - P (y) ∣ \leq ∣ x - y - r A (x - y) ∣

D'où

∣ P (x) - P (y) ∣^{2} \leq ∣ x - y ∣^{2} + r^{2} ∣ A (x - y) ∣^{2} - 2 r ⟨ x - y, A (x - y)⟩

Comme la forme bilinéaire a est coercive, on a $⟨ A (x - y), x - y ⟩ = a (x - y, x - y) \geq α ∣ x - y ∣^{2}$ . Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité $∣ A (x - y) ∣ \leq c ∣ x - y ∣$ . Par conséquent,

∣ P (x) - P (y) ∣^{2} \leq (1 + r^{2} c^{2} - 2 r α) ∣ x - y ∣^{2}

L'application P est contractante si et seulement si 1 + r**c − 2rα < 1, c'est-à-dire si on a $0 < r < \frac{2 α}{c ^{2}}$ . En choisissant un tel r et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique $u \in K$ tel que $u = p_{K} (r f - r A (u) + u)$ , ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire a est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur $H$ . La coercivité implique que a est définie et positive. On note par $⟨ ., . ⟩_{a}$ ce produit scalaire qui est défini par :

\forall x, y \in H ⟨ x, y ⟩_{a} = a (x, y)

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique $f \in H$ tel que $L (v) = ⟨ f, v ⟩_{a}$ pour tout $v \in H$ .

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

\exists! u \in K \forall v \in K ⟨ f - u, v - u ⟩_{a} \leq 0

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

\exists! u \in K u = p_{K}^{a} (f)

où $p_{K}^{a}$ est l'opérateur de projection sur K utilisant le produit scalaire défini par a. La relation (1) est donc équivalente à :

⟨ f - u, f - u ⟩_{a} = v \in K min ⟨ f - v, f - v ⟩_{a}

soit encore

⟨ u, u ⟩_{a} - 2 ⟨ f, u ⟩_{a} = v \in K min (⟨ v, v ⟩_{a} - 2 ⟨ f, v ⟩_{a})

ou bien

$\frac{1}{2} a (u, u) - L (u) = min_{v \in K} (\frac{1}{2} a (v, v) - L (v))$ ,

ce qui conclut la démonstration.

Applications

Ce théorème sert notamment en mécanique où I est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les théorèmes énergétiques de mécanique.
Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de solutions faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
Voir un exemple d'application au problème de l'obstacle

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