Transformation de Lorentz

Cet article présente les transformations de Lorentz sous un aspect technique. Le lecteur désireux d'obtenir des informations physiques plus générales à ce sujet pourra se référer à l'article relativité restreinte.

Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un point dans l'espace-temps de Minkowski, à quatre dimensions (trois d'espace et une de temps) et relativiste. On peut noter que la terminologie subit quelques variations : suivant que la théorie dans laquelle on travaille a trait ou non à la physique quantique, les termes « transformations de Lorentz » désignent des transformations qui peuvent être différentes.

Dans le cadre de la relativité restreinte, les transformations de Lorentz correspondent à la loi de changement de référentiel galiléen, sous laquelle les équations de la physique doivent être préservées, ainsi que la vitesse de la lumière, qui est la même dans tout référentiel galiléen. L'ensemble de ces transformations des coordonnées, aussi appelées transformations de Lorentz propres et orthochrones, est composé des transformations spécifiques à la relativité restreinte et des rotations dans l'espace à trois dimensions et forme le groupe de Lorentz.

Dans le cadre de la physique quantique relativiste, comme en Théorie quantique des champs, ce sont les transformations linéaires de l'espace-temps qui laissent les lois invariantes (en l'absence de charge électrique), ce qui englobe les précédentes et en amène d'autres pour former aussi un groupe : la symétrie T et la parité s'invitent parmi les transformations le Lorentz et, comme elles sont interprétées comme des changements de convention d'orientation des axes, elles ne sont pas utiles en relativité restreinte.

Dans chacun des deux cas l'ensemble des transformations désignées forme un sous-groupe du groupe de Poincaré.

Dans l'introduction à la publication, Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la physique mathématique, Acta Matematica, Vol. 38, p. 293-308, en 1921, Hendrik Antoon Lorentz précise que c'est pour faire en sorte que les équations de Maxwell s'écrivent à l'identique dans tout référentiel galiléen que Henri Poincaré a introduit mathématiquement cette loi, en la baptisant du nom de Lorentz. Ce dernier en avait donné une version qu'il a, plus tard, lui-même jugée imparfaite.

Présentations les plus courantes

En relativité restreinte 

On considére deux référentiels $\mathcal{R}$ et ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse $v$ parallèle à l'axe des x, et on note respectivement $(x,y,z,t)$ et $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$ les trois coordonnées spatiales et le temps permettant de repérer un même événement observé depuis chacun de ces référentiels. De plus $\Delta x,\Delta y,...$ et $\Delta x^{\prime },\Delta y^{\prime },...$ représentent les différences de coordonnées entre deux événements observés depuis chacun de ces référentiels

les transformations de Lorentz utilisées sont :

$\{\begin{array}{c}\Delta t^{\prime }=\frac{\Delta t-v\Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\Delta x^{\prime }=\frac{\Delta x-v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\Delta y^{\prime }=\Delta y\Delta z^{\prime }=\Delta z\end{array},$ en posant $\beta =\frac{v}{c}$ et $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, on écrit : $\{\begin{array}{c}c\Delta t^{\prime }=\gamma \left(c\Delta t-\beta \Delta x\right)\Delta x^{\prime }=\gamma \left(\Delta x-\beta c\Delta t\right)\Delta y^{\prime }=\Delta y\Delta z^{\prime }=\Delta z\end{array}$

Sous forme matricielle, ces transformations de Lorentz s'écrivent : $\left[\begin{array}{c}c\Delta t^{\prime }\Delta x^{\prime }\Delta y^{\prime }\Delta z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0-\beta \gamma & \gamma & 0& 00& 0& 1& 00& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\Delta t\Delta x\Delta y\Delta z\end{array}\right].$

En physique quantique relativiste 

Les transformations de Lorentz qui doivent laisser invariantes les équations (en l'absence de charge électrique) sont :

$\{\begin{array}{c}c\Delta t^{\prime }={ϵ}_1\gamma \left(c\Delta t-\beta \Delta x\right)\Delta x^{\prime }={ϵ}_2\gamma \left(\Delta x-\beta c\Delta t\right)\Delta y^{\prime }={ϵ}_2\Delta y\Delta z^{\prime }={ϵ}_2\Delta z\end{array}$ avec ${ϵ}_i=\pm 1$ indiquent s'il y a un changement d'orientation temporelle et/ou spatiale.

En considérant l'inversion temporelle T et l'inversion spatiale P, toute transformation utilisée en physique quantique est de la forme $\Lambda .L$, avec $L$ une transformation de Lorentz de la relativité restreinte (orthochrone et propre) et $\Lambda \in \{Id;T;P;TP\}$.

Le groupe des transformations propres et orthochrones étant connexe, la décomposition ci-dessus permet de voir que le groupe de Lorentz est formé de quatre composantes connexes, et que le groupe des transformations spéciales (i.e : de déterminant positif) est composé de deux composantes connexes.

Présentation comme rotation hyperbolique dans l'espace-temps de Minkowski

L'égalité $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$ montre que ${\gamma }^2-(\gamma .\beta {)}^2=1$, ce qui permet de définir la rapidité $\mathbf{\varphi }$ entre les deux référentiels inertiels, à l'aide des fonctions hyperboliques, par et $\sinh (\varphi )=\gamma .\beta \in \mathbb{R},$ soit encore $\varphi =\mathrm{artanh}\left(\frac{v}{c}\right),$ en utilisant $\beta =\frac{v}{c}\in \mathbb{R}$.

On obtient en écriture matricielle :

Les transformations de Lorentz sont présentées alors comme une rotation hyperbolique d'angle $\varphi$ (la rapidité) dans l'espace-temps de Minkowski.

Présentation sous forme diagonalisée

Avec les définitions et propriétés des fonctions de la trigonométrie hyperbolique, on obtient une présentation un peu différente des transformations de Lorentz :

sous forme matricielle : $\left[\begin{array}{c}c\Delta t^{\prime }-\Delta x^{\prime }c\Delta t^{\prime }+\Delta x^{\prime }\Delta y^{\prime }\Delta z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}{e}^{\varphi }& 0& 0& 00& e^{-\varphi }& 0& 00& 0& 1& 00& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\Delta t-\Delta xc\Delta t+\Delta x\Delta y\Delta z\end{array}\right].$

ce qui en est une forme diagonalisée avec des choix de repères dont deux axes forment l'intersection du cône de lumière avec le plan (Oxt), ou (Ox't') pour l'autre repère, et qui sont impossibles à matérialiser dans l'espace physique à trois dimensions.

Groupe de Galilée

Les formules du groupes de Lorentz peuvent s'approximer dans le cas où la vitesse $v$ du corps est petite devant celle de la lumière, ou, ce qui revient au même, en faisant tendre la vitesse de la lumière $c$ vers l'infini. En négligeant le terme $v/c$ dans les formules, on retrouve alors le groupe de Galilée qui est le groupe des transformations correspondantes aux changements de référentiel en physique classique.

Groupe de Carrol

Le groupe de Carrol est une autre approximation non relativiste des éléments du groupe de Lorentz dans le cas où on s'intéresse aux intervalles grands de genre espace. Cette approximation, découverte par Jean-Marc Lévy-Leblond en 1965, n'a d'intéret que pédagogique, d'après son découvreur.

• Pour la relativité restreinte, Einstein a initié une méthode :

À partir du principe de relativité et de l'invariance de la vitesse de la lumière par changement de référentiel, de l'homogénéité et de l'isotropie supposées de l'espace, et à l'aide d'une représentation géométrique d'une situation idéale où deux référentiels inertiels permettent de voir, mesurer les longueurs, et chronométrer le temps d'un référentiel à l'autre, on démontre les différentes formules par un système d'équations linéaires dont il faut trouver les coefficients. Les transformations non physiques sont parfois écartées sans détail par le choix de la solution positive dans une équation du second degré, choix dû à l'hypothèse physique de l'orientation des repères par une règle telle que celle de la main droite, illustrée par la représentation géométrique accompagnant le raisonnement.

• En physique quantique relativiste, comme en Théorie quantique des champs, les transformations utilisées sont définies comme les symétries de l'espace de Minkowski qui laissent inchangées les équations (en l'absence de charge électrique). Cela revient à déterminer les transformations linéaires laissant inchangé l'intervalle d'espace-temps : c'est une définition mathématique pour laquelle les changements de référentiel pour des observateurs ne sont que certaines de ces transformations et qui permet de les trouver toutes. Cette méthode est aussi utilisée dans certains manuels de relativité restreinte, après avoir démontré que l'invariance de l'intervalle d'espace-temps par changement de référentiel découle directement des deux axiomes de la relativité restreinte, et en éliminant les transformations qui ne respectent pas la convention d'orientation pour les repères tridimensionnels (règle de la main droite, en général) et d'orientation de l'axe du temps vers le futur ; élimination faite de diverses manières, parfois marquées du sceau de l'évidence, et parfois plus justifiées.

La méthode géométrique

On suppose que l'espace-temps physique est un espace affine où les référentiels sont identifiés aux repères de cet espace affine. De plus on néglige les translations constantes entre les repères qui ne se manifestent que par des additions de nombres constants aux coordonnées. Donc, la transformation des coordonnées s'effectue au moyen d'un opérateur linéaire :

Soient deux référentiels $\mathcal{R}$ et ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative v selon l'axe Ox. Soient $(x,t)$ les coordonnées spatio-temporelles d'un événement dans le référentiel $\mathcal{R}$, et $(x^{\prime },t^{\prime })$ ses coordonnées dans le référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$. (Pour simplifier les notations, on ne tiendra pas compte dans ce paragraphe des deux autres composantes spatiales y et z).

• Utilisation du principe de relativité :

Par le principe de relativité, les coefficients de la transformation linéaire ne dépendent que de la vitesse relative entre les référentiels, et d'aucune considération extérieure à ces deux référentiels. Pour plus de précision, on devrait dire des vitesses relatives des référentiels, le sujet est abordé un peu plus loin.

• Première utilisation de la vitesse de la lumière :

Si dans le référentiel $\mathcal{R}$ on considère le déplacement d'un signal lumineux dans le sens des x positifs, donc à la vitesse de la lumière, alors $x=ct$. Mais comme cette vitesse est la même dans le référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$, en considérant le déplacement de ce même signal vu depuis ce référentiel, comme l'axe des x' a la même orientation que celui des x, et de même pour les axes temporels, on doit avoir $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$. De même, en commençant par considérer le signal depuis ${\mathcal{R}}^{\prime }$.

Donc :

Et comme x, t, x', t' sont liés par des relations linéaires à coefficients constants, on doit avoir $x^{\prime }-c{t}^{\prime }=\lambda .(x-ct)$ pour un certain λ constant.

• Deuxième utilisation de la vitesse de la lumière :

En considérant le déplacement d'un signal lumineux dans le sens des x négatifs, et en faisant le même raisonnement, on obtient : $x^{\prime }+c{t}^{\prime }=\mu .(x+ct)$ pour un certain μ constant.

• Conclusion sur la vitesse de la lumière :

En additionnant et soustrayant les deux égalités précédentes, on obtient :

avec : $a=(\lambda +\mu )/2$ et $b=(\lambda -\mu )/2$.

• Première utilisation de la vitesse relative des référentiels :

Pour l'origine du référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$, on a x' = 0 et donc, d'après la première équation du système (2), on a :

En désignant par $v$ la vitesse du référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ par rapport au référentiel $\mathcal{R}$, on peut donc écrire

$v=\frac{x}{t}=\frac{b}{a}.c$, ou $v=\beta .c$, avec $\beta =\frac{v}{c}=\frac{b}{a}$

On peut donc écrire :

• Deuxième utilisation de la vitesse relative des référentiels :

Pour l'origine du référentiel $\mathcal{R}$, on a x = 0 et donc, d'après les équations du système (2), on a :

En désignant par $v^{\prime }$ la vitesse du référentiel $\mathcal{R}$ par rapport au référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$, on peut donc écrire

$v^{\prime }=\frac{x^{\prime }}{t^{\prime }}=-\frac{b}{a}.c=-v$.

• Utilisation des hypothèses sur l'espace :

Quand t = 0, on a $x^{\prime }=a.x$. Le coefficient a permet donc de convertir la mesure d'une longueur faite dans le référentiel $\mathcal{R}$, en la mesure faite dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$. Ce coefficient peut dépendre de la vitesse relative $v$ entre les référentiels, mais pas de sa direction ni de son sens par l'hypothèse de l'isotropie de l'espace. De plus, comme expliqué en début de paragraphe, a est indépendant des coordonnées x, t, x', t'.

Donc a dépend de la norme de la vitesse $v$, c'est-à-dire de $v^2$.

• Utilisation du principe de relativité :

En inversant les rôles des référentiels $\mathcal{R}$ et ${\mathcal{R}}^{\prime }$, et ayant justifié que v' = − v, et que $a$ ne dépend pas de la direction ni du sens de $v$, donc $a(v^2)=a((-v{)}^2)$, et on peut écrire :

En utilisant les deux équations du système (3) dans la première équation du système (4), on obtient $x=a^2.\left(1-{\beta }^2\right)x,$ soit :

Le signe + est choisi, sinon il y a changement dans d'orientation entre l'axe des x et l'axe des x', ce qui n'est pas le cas par hypothèse.

• Conclusion :

Les transformations de Lorentz s'écrivent :

Ce que l'on écrit souvent :

Avec $\beta =\frac{v}{c}$ et $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$.

On trouvera une variante de cette démonstration où les principes de base (référentiels galiléens, vitesse de la lumière indépendante de celle de la source et principe de relativité) sont séparés sur Wikiversité

La méthode partant de l'invariance de la pseudo-norme

Les transformations de Galilée conservent le produit scalaire : :$\vec{A}\cdot \vec{B}={\vec{A}}^{\prime }\cdot {\vec{B}}^{\prime }$

Dans l'espace-temps de Minkowski, le tenseur métrique est :

Ce qui veut dire que l'on doit différencier les coordonnées covariantes, des coordonnées contravariantes. On définit la pseudo-norme : :d**s = η_αβdxd**x = d**x_αd**x = cdt − d**x − d**y − d**z

Les transformations de Lorentz doivent conserver la pseudo-norme : :d**x_αd**x = d**x'_αd**x'

Les transformations de Lorentz doivent être linéaire à coefficients constants. Dans toute la suite, les indices primés correspondent aux coordonnées dans le référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$, de plus les répétitions de lettres grecques voudront dire sommation de 0 à 3, et les répétitions de lettres latines de 1 à 3.

Les transformations s'écrivent sous la forme matricielle :

Les pseudo-produits scalaires sont invariants pas transformations de Lorentz : $x^{\mu }{y}_{\mu }=x^{{\mu }^{\prime }}{y}_{{\mu }^{\prime }}=y_{{\lambda }^{\prime }}{L}_{{\rho }^{\prime }}^{\mu }{L}_{\mu }^{{\lambda }^{\prime }}{x}^{{\rho }^{\prime }}$ soit donc : $L_{{\rho }^{\prime }}^{\mu }{L}_{\mu }^{{\lambda }^{\prime }}={\delta }_{{\rho }^{\prime }}^{{\lambda }^{\prime }}$ où ${\delta }_{{\rho }^{\prime }}^{{\lambda }^{\prime }}$ est le symbole de Kronecker. L'inverse de la matrice $L_{\mu }^{{\nu }^{\prime }}$ est sa transposée : $L_{{\nu }^{\prime }}^{\mu }$ La transformation du tenseur métrique se retrouve en ayant à l'esprit l'invariance du pseudo-produit scalaire :

x_μx = x_λ'x

On en déduit que (det**L) = 1 donc det**L = 1 ou det**L = − 1.

Terminologie : les transformations vérifiant $detL=1$ sont appélées les transformations propres, elles forment un groupe appelé le groupe des Transformations Spéciales de Lorentz. Ce groupe a deux composantes connexes. Les autres transformations sont qualifiées d'impropres et ne forment pas un groupe.

Les transformations s'écrivent alors :

On considère un corps au repos dans le référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$, alors d**x' = 0, d'où :

soit :

Ensuite il y a ces relations à démontrer :

Pour les expressions (2), il suffit d'utiliser la relation : $L_{{\mu }^{\prime }}^{\nu }={\eta }^{\alpha \nu }{\eta }_{{\beta }^{\prime }{\mu }^{\prime }}{L}_{\alpha }^{{\beta }^{\prime }}$ avec ν = i, μ = 0 et μ' = ν' = 0' soit :

Pour les expressions (3) :

Pour les expressions (4), nous partons de $L_{{\rho }^{\prime }}^{\mu }{L}_{\mu }^{{\sigma }^{\prime }}={\delta }_{{\rho }^{\prime }}^{{\sigma }^{\prime }}$, avec ρ' = 0' et σ' = i'

Pour les expressions (5) les relations de transformations du tenseur métrique donnent :

${\eta }_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}=L_{{\mu }^{\prime }}^{\rho }{L}_{{\nu }^{\prime }}^{\sigma }{\eta }_{\rho \sigma }$, en prenant μ' = ν' = 0'

Pour les expressions (6) : avec $L_{0^{\prime }}^i=L_{0^{\prime }}^0{\beta }^i$ et $L_{k^{\prime }}^0=L_{k^{\prime }}^i{\beta }_i$ en remarquant : ${\eta }_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}=L_{{\mu }^{\prime }}^{\lambda }{L}_{{\nu }^{\prime }}^{\rho }{\eta }_{\lambda \rho }$ pour μ' = i' et ν' = j' on obtient :

or : $L_{j^{\prime }}^0=L_{0^{\prime }}^0{\beta }_{j^{\prime }}=-L_0^{0^{\prime }}{\beta }^{j^{\prime }}=L_m^{j^{\prime }}{\beta }^m=-L_{j^{\prime }}^m{\beta }_m$

d'où :

On prend le déterminant :

Pour les expressions (7) : Nous avons L' = L (matrices orthogonales), on a donc : $L_{0^{\prime }}^0=L_0^{0^{\prime }}$, on a donc β = β'.

En se plaçant dans le cadre de la relativité restreinte, les transformations de Lorentz représentent des changements de référentiels :

• Il faut appliquer le principe de non retournement du temps, et donc écarter les valeurs négatives pour $L_{0^{\prime }}^0.$ On obtient alors : $L_{0^{\prime }}^0=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$ Les transformation de Lorentz alors utilisées sont dites orthochrones.
• Il faut appliquer le principe de non retournement de l'orientation spatiale (par la main droite en général), et donc écarter les cas où $det{L}_{k^{\prime }}^i<0.$ On obtient alors : $det{L}_{k^{\prime }}^i=L_{0^{\prime }}^0=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$ Avec cette condition supplémentaire, les transformations de Lorentz utilisées sont de déterminant égal à 1 : elles sont dites propres.

Ainsi, les transformations de Lorentz utilisées en relativité restreinte sont celles qui sont propres et orthochrones.