Le tri de Shell ou Shell Sort en anglais est un algorithme de tri. C'est une amélioration notable du tri par insertion au niveau de la vitesse d'exécution mais ce tri n'est pas stable. Il est facile de comprendre intuitivement comment fonctionne cet algorithme mais il est difficile de calculer son temps d'exécution.
Le nom vient de son inventeur Donald Shell (en) (né en 1924) qui publia l'algorithme dans le numéro de juillet 1959 de Communications of the ACM.
Le tri de Shell est une amélioration du tri par insertion en observant deux choses:
Le tri de Shell trie chaque liste d'éléments séparés de n positions chacun avec le tri par insertion. L'algorithme effectue plusieurs fois cette opération en diminuant n jusqu'à n=1 ce qui équivaut à trier tous les éléments ensemble.
Le fait de commencer avec des éléments espacés permet de pallier l'inconvénient (2), tandis que lorsque l'on fait à la fin avec un espacement de 1, ce qui est en fait un tri par insertion ordinaire, on tire parti de l'avantage (1).
Sur des tableaux de moins d'une centaine d'éléments, ce tri est aussi rapide qu'un tri rapide simple. Mais plutôt que d'être en compétition avec l'algorithme quicksort, il peut être utilisé pour son optimisation quand les sous-listes à traiter deviennent petites.
Le choix de l'espacement entre les éléments qu'on trie à chaque étape (gap) est très important. Il peut faire varier le temps d'exécution de O(n) à O(nlogn), peut-être, O(nlogn). C'est un sujet de recherche.
Les premiers espacements optimaux (empiriquement trouvés) sont les suivants : 1, 4, 10, 23, 57, 132, 301, 701.
On remarque que le facteur entre ces valeurs, exception faite des deux premières, est d'environ 2,3. On peut effectivement prolonger cette liste avec ce facteur si les dimensions du tableau dépassent environ 1600 éléments. Par exemple pour trouver le premier gap en Pascal :
gap := 701; while gap<length(liste) do gap := round(gap*2.3);
Puis à chaque itération, si on utilise un gap calculé :
gap := round(gap/2.3);
PROCEDURE Tri_Shell(N As Int, ByRef E() As Int) Local Int D, LIMITE, INTERVERSION, J, I D = Div(N, 2) ' D = Distance de comparaison Do ' BOUCLE PRINCIPALE DE SUBDIVISION DES DISTANCES LIMITE = Sub(N, D) ' Limite ou s'arrêtent les comparaisons Do ' BOUCLE SECONDAIRE DE RECOMPARAISON EN CAS D'INTERVESION INTERVERSION = 0 ' A priori pas d'interversion (=0) J = D 'J%=numéro du 2ème élément dans les comparaisons For I = 1 To LIMITE% ' BOUCLE de tri avec I%=1er élément de comparaison Inc J ' J% suis I% en gardant la distance D% If E(I) > E(J) ' Si il y a lieu d'intervertir INTERVERSION = I ' On mémorise l"emplacement de l'interversion Swap E(I), E(J) ' On interverti les 2 éléments EndIf Next I% LIMITE = INTERVERSION ' Prochaine Boucle de tri s'arrêtera à la dernière interversion Loop While INTERVERSION > 0 ' On refait des comparaisons si l'ordre des éléments a changé Div D, 2 ' Sinon on divise la distance par 2 et on recommence Loop While D > 0 ' sauf si plus possible de diminuer la distance Return
/* * Exécute un tri par insertion avec la séparation donnée * If gap == 1, on fait un tri ordinaire. * If gap >= length, on ne fait rien. */ void shellSortPhase(int a[], int length, int gap) { int i; for (i = gap; i < length; ++i) { int value = a[i]; int j; for (j = i - gap; j >= 0 && a[j] > value; j -= gap) { a[j + gap] = a[j]; } a[j + gap] = value; } } void shellSort(int a[], size_t length) { /* * gaps[] doit approximer une Série géométrique. * La sequence suivante est la meilleure connue en terme * de nombre moyen de comparaisons. voir: * https://www.research.att.com/~njas/sequences/A102549 */ static const int gaps[] = { 1, 4, 10, 23, 57, 132, 301, 701 }; int sizeIndex; for (sizeIndex = sizeof(gaps)/sizeof(gaps[0]) - 1; sizeIndex >= 0; --sizeIndex) shellSortPhase(a, length, gaps[sizeIndex]); }
/* Réadaptation du code précédent en C, avec template pour pouvoir s'adapter à tout type de donnée pour lequel les opérateur '==', '<' et '>' sont définis. */ template void SHELLSRT_phase(T* a, unsigned int size, unsigned int gap) { for (int i = gap; i < (int)size; i) { T value = a[i]; int tmp = i - gap; int j = 0; for(j = tmp; ((j >= 0) && (a[j] > value)); j -= gap) a[j + gap] = a[j]; a[j + gap] = value; } } template void SHELLSRT_make(T* a, unsigned int size) { static const unsigned int gaps[9] = {1, 4, 10, 23, 57, 132, 301, 701, 1750}; unsigned int tmp = 9 -1; for(unsigned int i = tmp; i != -1; --i) SHELLSRT_phase(a, size, gaps[i]); }
Implémention du tri Shell en Pascal (par ordre croissant).
procedure TriShell(n : integer ; var t : tab); var p, k, i, j, x : integer; begin (* Recherche du Gap optimal qui est le résultat de *) (* la suite récurrente : Un = 3.Un-1 + 1 *) (* Tel que Un < n (Nombre d'éléments du tableau) *) p := 0; while (p < n) do p := 3 * p + 1; while (p <> 1) do begin (* On affine peu à peu le Gap *) (* Gap = 1 ==> Tri par Insertion ordinaire *) p := p div 3; if (p=1) then x:=1 else x:=n-(n mod p)+1; for i := x to n do begin k := t[i]; (* Valeur à insérer *) (* Recherche de la position d'insertion *) j:= i; while (j >= p ) and (t[j - p] > k) do begin t[j] := t[j - p]; j := j - p; end; (* Insertion de la valeur à son emplacement *) t[j] := k; end; end; end;
public static void triDeShell(int [] tab,int tailleLogique){ int pas = 1; while( pas < tailleLogique/9) { pas = pas*3 + 1; // on fixe le premier pas } while (pas > 0) { // boucle sur les différents pas for(int série = 0; série <= pas-1; série ++) { // boucle sur les séries int positionEltAInsérer = série + pas; // tri par insertion while(positionEltAInsérer < tailleLogique) { int élémentAInsérer = tab[positionEltAInsérer]; int posElemComparé = positionEltAInsérer - pas; while ((posElemComparé >= 0) && (élémentAInsérer < tab[posElemComparé])) { tab[posElemComparé + pas] = tab[posElemComparé]; posElemComparé -= pas; } tab [posElemComparé + pas] = élémentAInsérer; positionEltAInsérer += pas; } } pas = pas/3; } }
using System; public class ShellSorter { public void Sort(int [] list) { int inc; for(inc=1;inc<=list.Length/9;inc=3*inc+1); for(;inc>0;inc/=3) { for(int i=inc+1;i<=list.Length;i+=inc) { int t=list[i-1]; int j=i; while((j>inc)&&(list[j-inc-1]>t)) { list[j-1]=list[j-inc-1]; j-=inc; } list[j-1]=t; } } } } public class MainClass { public static void Main() { int[] iArrary=new int[]{1,5,3,6,10,55,9,2,87,12,34,75,33,47}; ShellSorter sh=new ShellSorter(); sh.Sort(iArrary); for(int m=0;m<=13;m++) Console.WriteLine("{0}",iArrary[m]); } }