Base (arithmétique) - Définition

Quelques propriétés

• Zéro s'écrit 0 dans toutes les bases.
• De la même manière, le nombre un s'écrit 1 dans toutes les bases, puisque quelle que soit la base, base⁰ égale 1.
• L'égalité « 121 = 11² » est vraie dans toutes les bases naturelles strictement supérieures à 2.
• En base dix, un nombre est pair s'il se termine par un multiple de 2, c'est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 ; en base 2, il est pair s'il se termine par 0. Inversement, en base dix, un nombre est impair s'il se termine par un chiffre impair, soit 1, 3, 5, 7 ou 9, et en base deux s'il se termine par 1.
• L'alternance des chiffres 0 et 1 en binaire se fait avec les chiffres 5 ou A en hexadécimal.

555₁₆ = 010101010101₂

AAA₁₆ = 101010101010₂

• Un nombre s'écrivant de la même façon dans deux bases naturelles différentes est plus grand dans la plus grande base.

57₁₆ > 57₁₀ > 57₈

• De même, un grand nombre aura besoin de moins de chiffres pour s'écrire dans une grande base naturelle que dans une petite.

F4240₁₆ (5 chiffres) = 1 000 000₁₀ (7 chiffres) = 1111 0100 0010 0100 0000₂ (20 chiffres)

• 10 < 1 en base n, avec n appartenant à l'intervalle ]0;1[, 10 = 1 en base 1, et 10 > 1 en base n, avec n appartenant à l'intervalle ]1;+∞[.
• la base s'écrit 10 dans toutes les bases. 10₂ = 2, 10₁₆ = 16, 10₆₀ = 60
• En base N, un nombre est divisible par N-1 (ou un diviseur de N-1) si la somme de ses chiffres est divisible par N-1 (ou un diviseur de N-1) (exemple connu: la divisibilité par 3 ou par 9 en base 10).