Diviseur
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Introduction

En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q tel que n = d × q.

Par exemple, 7 est un diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q...) de 42 parce que 42/7 = 6. Nous disons aussi 42 est divisible par 7 ou 42 est un multiple de 7 ou 7 divise 42 et nous écrivons généralement 7 | 42. Les diviseurs peuvent être positifs ou négatifs. Les diviseurs positifs de 42 sont {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Certains cas spéciaux : 1 et -1 sont les diviseurs de chaque entier, et chaque entier est un diviseur de 0. Les nombres divisibles par 2 sont appelés pairs et ceux qui ne le sont pas sont appelés impairs.

Le nom vient de l'opération arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science...) de division : si a, b sont des entiers avec b non nul, et si a/b=c est un entier, alors a est le dividende, b le diviseur, et c le quotient.

Critères pour les petits diviseurs

Il existe certaines règles qui permettent de reconnaître les petits diviseurs d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) à partir du nombre de ses chiffres décimaux.

Un critère de divisibilité est un critère que vous pouvez utiliser pour déterminer la divisibilité d'un nombre par un autre nombre. Ceux-ci sont basés sur les congruences modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique,...) le diviseur cherché.

Par exemple, en système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.), nous voulons savoir le critère pour le diviseur 3.

10 est congru à 1 modulo 3, 100 est congru à 1 modulo 3,...,10n est congru à 1 modulo 3

Un nombre en système décimal s'écrivant

a_n \times 10^n + \ldots + a_2 \times 10^2 + a_1 \times 10^1 + a_0 \times 10^0\,

est congru modulo 3 à

a_n \times 1 +...+ a_2 \times 1 + a_1 \times 1 + a_0 \times 1\,

c’est-à-dire à la somme des coefficients des puissances de 10, c’est-à-dire la somme des chiffres qui composent le nombre. Cette somme doit être divisible par 3 pour que le nombre soit divisible par 3.

Diviseurs dans un anneau

Dans un anneau commutatif intègre A, un diviseur d'un élément a\in A est un élément non nul b\in A tel qu'il existe c\in A avec a=b \times c (autrement dit a appartient à l'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible...) bA). Cette notion est intéressante surtout dans un anneau factoriel (comme l'anneau des entiers est un exemple).

Notions supplémentaires et résultats

Quelques propriétés élémentaires :

  • Si a divise b et a divise c, alors a divise (bx+cy).
  • Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
  • Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=-b.

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre entier n possède pour diviseurs triviaux positifs, 1 et lui-même.

Un diviseur positif de n, différent de n et 1, est appelé un diviseur propre (ou diviseur strict, ou une partie aliquote) de n. Un nombre qui ne divise pas également n, mais qui laisse un reste, est appelé une partie aliquante de n.

Un nombre entier n > 1 qui ne possède pas de diviseur propre est appelé un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui...). (Les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers.)

N'importe quel diviseur de n est le produit de diviseurs premiers de n avec une certaine puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) en exposant (Exposant peut signifier:). Ceci est une conséquence du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer...) fondamental de l'arithmétique.

Si un nombre est égal à la somme de ses diviseurs stricts, il est appelé un nombre parfait. Les nombres inférieurs à cette somme sont dits déficients, alors que les nombres plus grands que cette somme sont dits abondants.

Le nombre total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En physique le total...) de diviseurs propres de n est une fonction multiplicative d(n) (par exemple :

d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)\,).

La somme des diviseurs propres de n est une autre fonction multiplicative \sigma(n)\, (par exemple :

\sigma(42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma(2) \times \sigma(3) \times \sigma(7)\,).

La relation « divise » munit l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) N des nombres entiers positifs d'une relation d'ordre partiel (Le mot partiel peut être employé comme :), qui en fait même un treillis complet. Le plus grand élément de ce treillis est 0 et le plus petit est 1. L'opération binaire de borne inférieure \and est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par le PGCD et l'opération binaire de borne supérieure \or par le PPCM. Le treillis dual est celui des sous-groupes du groupe cyclique infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) Z, ordonné par l'inclusion (autrement dit : m divise n si et seulement si le sous-groupe mZ contient le sous-groupe nZ).

Si un nombre entier n est écrit dans une base b, et d est un nombre entier avec b ≡ 1 (mod d), alors n est divisible par d si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par d. Le critère donné pour d=3 donné plus haut est un cas particulier de ce résultat. (b=10).

Si la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous...) en facteurs premiers de n est donnée par

 n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_n^{\nu_n}

alors le nombre de diviseurs positifs de n est

 d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_n + 1),

et chaque diviseur est de la forme

 p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_n^{\mu_n}

 \forall i : 0 \le \mu_i \le \nu_i.
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