Cycles (Géométrie algébrique) - Définition

Fonctorialité

Soit un morphisme. Soit Z un fermé irréductible, de point générique ξ. On pose

• f _* [Z] = [k(ξ):k(f(ξ)][f(Z)] si l'extension k(ξ) / k(f(ξ)) est finie, et f _* [Z] = 0 sinon.

Ce induit un homomorphisme de groupes . Lorsque Y est le spectre d'un corps k et que f est de type fini, pour tout 0-cycle Z, on a f _* Z = (degZ).e où e est l'unique 0-cycle de Spec k.

Degré d'un 0-cycle

On suppose que X est une variété algébrique sur un corps k (i.e. c'est un k-schéma de type fini). Pour tout point fermé x (donc 0-cycle irréductible), le corps résiduel k(x) est une extension finie de k. Si

est un 0-cycle, on définit son degré par

C'est un entier qui dépend du corps de base k. L'application degré est un homomorphisme ℤ.

Cela veut dire que dans le cas des variétés algébriques propres, l'application degré induit un homomorphisme de groupes

• Corollaire. Soit X une courbe projective sur un corps, alors l'application degré induit un homomorphisme de groupes de CH¹(X) = CH₀(X) dans .

Références bibliographiques

William Fulton: Intersection Theory, second edition. - Springer Verlag, 1998

Correspondance

A écrire...