Variété algébrique - Définition

Introduction

Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un ensemble de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques.

Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques: elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés. On utilise ici le deuxième point de vue, plus classique.

Définition

Une variété algébrique est, grossièrement, une réunion finie de variétés affines. Elle peut être vue comme un espace topologique muni de cartes locales qui sont des variétés affines, et dont les applications de transition sont des applications polynômiales.

Les points d'une variété algébrique sont localement des ensembles algébriques.

Variétés algébriques

On fixe un corps k. Un espace localement annelé (X,O_X) en k-algèbres est constitué d'un espace topologique X et d'un faisceau de k-algèbres O_X sur X tel que les germes O_X,x aux points x de X sont des anneaux locaux

Une variété algébrique sur k est un espace localement annelé (X,O_X) en k-algèbresqui admet un recouvrement fini par des ouverts affines X_i (c'est-à-dire que l'espace est une variété affine). On omet souvent O_X dans la notation d'une variété algébrique.

Bien que la structure d'une variété algébrique (X,O_X) dépende du faisceau structural O_X, notamment pour les variétés non réduites, on note généralement une variété algébrique simplement par X sans O_X.

Si U est une partie ouverte de X, les éléments de l'anneau O_X(U) s'appellent les fonctions régulières sur U. Dans des situations favorables, les fonctions régulières s'identifient à des applications de U dans k.

Exemples

• Les variétés affines sont par définition des variétés algébriques.

• Les variétés projectives sont des variétés algébriques. Une variété projective est affine si et seulement si elle est de dimension 0, c'est-à-dire consiste en un nombre fini de points.

• Soit X le plan affine Spmk[T,S], soit x₀ = (0,0) le point de X correspondant à l'idéal maximal de k[T,S] engendré par T,S. Alors le complémentaire U de x₀ est une partie ouverte. Une fonction régulière f sur U doit être régulière sur la partie ouverte , donc f est une fraction rationnelle de dénominateur une puissance de T. Par symétrie, elle a aussi pour dénominateur une puissance de S. On conclut que . On montre que U n'est ni une variété affine, ni une variété projective. Elle est cependant quasi-affine, c'est-à-dire ouvert d'une variété affine.

Fonctions régulières

Soit X une variété algébrique sur un corps algébriquement clos k. On fixe un ouvert U et une fonction régulière . On veut identifier f à une application de U dans k.

Pour tout , le corps résiduel k(x) en x est égal à k. En effet, si on prend un voisinage ouvert affine SpmA de x. Alors x correspond à un idéal maximal . Par le théorème des zéros de Hilbert, on a A / M = k. Par ailleurs, le corps résiduel de (X,O_X) est précisément A / M. On note f(x) l'image canonique de f dans k par . Donc on obtient une application qui à x associe f(x).

On suppose de plus que X est une variété réduite, c'est-à-dire que O_X(U) est un anneau réduit pour tout ouvert U (cela revient à dire que X est une rénion finie d'ouverts affines SpmA_i, avec les A_i réduits). Alors à l'aide du théorème des zéros de Hilbert, on montre sans peine que l'application est identiquement nulle si et seulement si est nul. Ainsi l'anneau des fonctions régulières sur U s'identifie à un sous-annea de l'ensemble des fonctions .

Morphismes

Un morphisme de variétés algébriques sur k est un morphisme d'espaces localement annelés sur k. Il est donc constitué d'une application continue et d'un morphisme de faisceaux de k-algèbres .

On peut expliciter le morphisme comme suit. Si V est un ouvert de Y et U = f ^{− 1}(V), alors est un morphisme de k-algèbres, avec en plus une compatibilité avec les structures des anneaux locaux. Quand on peut identifier les fonctions régulières comme des fonctions sur V, alors envoie une fonction régulière vers la fonction .

En général on omet dans la notation du morphisme .

Étant données deux morphismes de variétés algébriques , sur le même corps, on peut les composer et obtenir un morphisme .

Le morphisme identité sur X est constitué de l'application identité , et du morphisme identité sur .

Un isomorphisme est un morphisme qui admet un inverse. Cela revient à dire que l'application f est un homémorphisme et que est un isomorphisme. Deux variétés algébriques sont dites isomorphes s'il existe entre eux un isomorphisme de variétés algébriques.

La classe des variétés algébriques sur k forment une catégorie.

• Morphismes vers une variété algébrique affine

Soit Y une variété algébrique affine associée à une k-algèbre A. Pour tout morphisme de variétés algébriques , le morphisme de faisceaux fournit, en prenant les sections sur Y, un morphisme de k-algèbres .

• Proposition L'application Mor Hom_{k − alg}(A,O(X)) est bijective et fonctorielle en X et en A.

Restreinte aux variétés affines X, cette proposition dit que la catégorie des variétés algébriques affines sur k est équivalente à la catégorie (opposée) des algèbres de type fini sur k.