Variété algébrique - Définition et Explications

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Introduction

Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un ensemble de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques.

Il y a deux points de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques: elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) des points fermés. On utilise ici le deuxième point (Graphie) de vue, plus classique.

Définition

Une variété algébrique (Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines...) est, grossièrement, une réunion finie de variétés affines. Elle peut être vue comme un espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...) muni de cartes locales qui sont des variétés affines, et dont les applications de transition sont des applications polynômiales.

Les points d'une variété algébrique sont localement des ensembles algébriques.

Variétés algébriques

On fixe un corps k. Un espace localement annelé (X,OX) en k-algèbres est constitué d'un espace topologique X et d'un faisceau de k-algèbres OX sur X tel que les germes OX,x aux points x de X sont des anneaux locaux

Une variété algébrique sur k est un espace localement annelé (X,OX) en k-algèbresqui admet un recouvrement (Un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union...) fini par des ouverts affines Xi (c'est-à-dire que l'espace (X_i, O_X|_{X_i}) est une variété affine). On omet souvent OX dans la notation d'une variété algébrique.

Bien que la structure d'une variété algébrique (X,OX) dépende du faisceau structural OX, notamment pour les variétés non réduites, on note généralement une variété algébrique simplement par X sans OX.

Si U est une partie ouverte de X, les éléments de l'anneau OX(U) s'appellent les fonctions régulières sur U. Dans des situations favorables, les fonctions régulières s'identifient à des applications de U dans k.

Exemples

  • Les variétés affines sont par définition des variétés algébriques.
  • Les variétés projectives sont des variétés algébriques. Une variété projective est affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) si et seulement si elle est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 0, c'est-à-dire consiste en un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) fini de points.
  • Soit X le plan affine Spmk[T,S], soit x0 = (0,0) le point de X correspondant à l'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) maximal de k[T,S] engendré par T,S. Alors le complémentaire U de x0 est une partie ouverte. Une fonction régulière f sur U doit être régulière sur la partie ouverte D(T)\subset U, donc f est une fraction rationnelle de dénominateur une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de T. Par symétrie, elle a aussi pour dénominateur une puissance de S. On conclut que f\in k[T,S]. On montre que U n'est ni une variété affine, ni une variété projective. Elle est cependant quasi-affine, c'est-à-dire ouvert d'une variété affine.

Fonctions régulières

Soit X une variété algébrique sur un corps algébriquement clos k. On fixe un ouvert U et une fonction régulière f\in O_X(U). On veut identifier f à une application de U dans k.

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) x\in X, le corps résiduel k(x) en x est égal à k. En effet, si on prend un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) ouvert affine SpmA de x. Alors x correspond à un idéal maximal M\subseteq A. Par le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) des zéros de Hilbert, on a A / M = k. Par ailleurs, le corps résiduel de (X,OX) est précisément A / M. On note f(x) l'image canonique de f dans k par O_X(U)\to O_{X,x}\to k(x)=k. Donc on obtient une application U\to k qui à x associe f(x).

On suppose de plus que X est une variété réduite, c'est-à-dire que OX(U) est un anneau réduit pour tout ouvert U (cela revient à dire que X est une rénion finie d'ouverts affines SpmAi, avec les Ai réduits). Alors à l'aide du théorème des zéros de Hilbert, on montre sans peine que l'application x\mapsto f(x) est identiquement nulle si et seulement si f\in O_X(U) est nul. Ainsi l'anneau des fonctions régulières sur U s'identifie à un sous-annea de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des fonctions U\to k.

Morphismes

Un morphisme de variétés algébriques f : X \to Y sur k est un morphisme d'espaces localement annelés sur k. Il est donc constitué d'une application continue f : X \to Y et d'un morphisme de faisceaux de k-algèbres f^{\#}:  O_Y \to  f_*(O_X).

On peut expliciter le morphisme f^{\#} comme suit. Si V est un ouvert de Y et U = f − 1(V), alors f^{\#}(V): O_Y(V)\to O_X(U) est un morphisme de k-algèbres, avec en plus une compatibilité avec les structures des anneaux locaux. Quand on peut identifier les fonctions régulières g\in O_Y(V) comme des fonctions sur V, alors f^{\#}(V) envoie une fonction régulière g : V\to k vers la fonction g\circ f: U\to k.

En général on omet f^{\#} dans la notation du morphisme (f, f^{\#}).

Étant données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) deux morphismes de variétés algébriques f : X\to Y, g : Y\to Z sur le même corps, on peut les composer et obtenir un morphisme g\circ f: X\to Z.

Le morphisme identité sur X est constitué de l'application identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui...) X\to X, et du morphisme identité sur O_X\to O_X.

Un isomorphisme est un morphisme f : X\to Y qui admet un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...). Cela revient à dire que l'application f est un homémorphisme et que f^{\#} : O_Y\to f_*(O_X) est un isomorphisme. Deux variétés algébriques sont dites isomorphes s'il existe entre eux un isomorphisme de variétés algébriques.

La classe des variétés algébriques sur k forment une catégorie.

  • Morphismes vers une variété algébrique affine

Soit Y une variété algébrique affine associée à une k-algèbre A. Pour tout morphisme de variétés algébriques f: X\to Y, le morphisme de faisceaux O_Y \to f_*O_X fournit, en prenant les sections sur Y, un morphisme de k-algèbres A \to O(X).

  • Proposition L'application Mor_k(X, {\mathrm{Spm}}(A)) \to Homkalg(A,O(X)) est bijective et fonctorielle en X et en A.

Restreinte aux variétés affines X, cette proposition dit que la catégorie des variétés algébriques affines sur k est équivalente à la catégorie (opposée) des algèbres de type fini sur k.

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