Né en Écosse, ses parents déménagèrent pour San José, Californie alors qu'il était âgé de 15 mois. La famille retourna à Bedford, Angleterre après la mort de son père, le 4 janvier 1896. En 1902, Bell retourna aux États-Unis par Montréal.
Bell étudia à l'université Stanford et à l'université Columbia (où il fut étudiant de Cassius Jackson Keyser) et alla à l'université de Washington et ensuite à la California Institute of Technology.
Ses recherches ont porté sur la théorie des nombres, en particulier les séries de Bell. Il a essayé, bien que sans succès de faire le traditionnel calcul symbolique (à l'époque connu comme étant le même chose que la "méthode symbolique" de Blissard) de manière logique et rigoureuse. Il travailla aussi beaucoup sur les fonctions génératrices, traitées comme des séries entières, sans se soucier de leur convergence. Il est à l'origine des polynômes de Bell et des nombres de Bell en combinatoire. En 1924 il a reçu le prix Bôcher Memorial pour son travail en analyse.