Felix Klein - Définition
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Travaux
Le Programme d'Erlangen
Sophus Lie présente à Klein le concept de groupes, qu'il a aussi étudié aux côtés de Camille Jordan. Les premières découvertes importantes de Klein datent de 1870. En collaboration avec Lie, il étudie les propriétés fondamentales des lignes asymptotiques sur la surface de Kummer. Ils en viennent à s'intéresser à des courbes invariantes sous un groupe de transformations projectives.
En 1871, alors à Göttingen, Klein fait d'importantes découvertes en géométrie. Il publie deux articles, dont On the So-called Non-Euclidian Geometry, plaçant les géométries euclidiennes et non euclidennes sur un même plan, et mettant un terme à la controverse autour de la géométrie non euclidienne.
La synthèse de Klein de la géométrie comme étude des invariants sous un groupe de transformations donné, connue sous le nom de Programme d'Erlangen (1872) influença profondément l'évolution de la géométrie et des mathématiques dans leur ensemble. Ce programme était le cours inaugural de Klein comme professeur à Erlangen. Ce programme propose une vision unifiée de la géométrie. Klein décrit en détails comment les propriétés centrales d'une géométrie donnée se traduisent par l'action d'un groupe de transformations.
Aujourd'hui, cette vision est devenue tellement banale dans l'esprit des mathématiciens qu'il est difficile de juger de leur importance, d'apprécier sa nouveauté et de comprendre l'opposition à laquelle elle a dû faire face.
