Fonctions d'Argyris - Définition

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Matrice de passage

Remarque 5 : Cette construction n'est valable que pour le cas traité en exemple.

Pour trouver les fonctions de base d'Argyris dans un triangle donné, il faut multiplier le vecteur constitué des différentes fonctions dans le triangle de référence par une certaine matrice $C$ que l'on explicitera ici.

Soient trois points non-alignés $X i = (x i, y i)(i = 1,2,3)$ qui formeront notre triangle $T$ . Nous considérons la transformation affine $F T$ qui envoie un point du triangle de référence $\widehat{T}$ sur un point de $T$ (on note $\widehat{X}$ le point de coordonnées $(\widehat{x},\widehat{y})$ dans $\widehat{T}$ ) :

$F_T : \widehat{T} \rightarrow T$

Argyris F T.JPG

$X=F_T(\widehat{X}) = B_T\widehat{X} + X_1 := \left( \begin{array}{ll} x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ y_2-y_1 & y_3-y_1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} \widehat{x}\\ \widehat{y} \end{array} \right) +\left( \begin{array}{l} x_1\\ y_1 \end{array} \right)$ .

Afin de simplifier l'écriture, nous notons : $B:=B_T:=\left( \begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right)$ .

Notations

Dans le reste de cette présentation, on utilisera des notations simplificatrices :
1. Pour tout $\alpha \in \mathbb{N}^*$ , on note $I α$ la matrice identité $\alpha \times \alpha$ (elle ne comporte que des $1$ sur la diagonale, les autres composantes valant $0$ );
2. Pour tout couple $(\alpha,\beta) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ , on note $0_{\alpha \times \beta}$ la matrice nulle $\alpha \times \beta$ (toutes ses composantes valent $0$ ).

On note e₁ (resp. e₂ ; e₃) l'arête ayant pour sommets les points X₂ et X₃ (resp. X₃ et X₁ ; X₁ et X₂). On note | e_i | la longueur de l'arête e_i, $i \in \{1,2,3\}$ . On a alors :
1. $|e_1|=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$ ;
2. $|e_2|=\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$ ;
3. $|e_3|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ ;

Soit la matrice $3 \times 3$

$\Theta:= \left( \begin{array}{ccc} b_{11}^2&2b_{11}b_{21}&b_{21}^2\\ b_{11}b_{12}&b_{11}b_{22}+b_{12}b_{21}&b_{21}b_{22}\\ b_{12}^2&2b_{12}b_{22}&b_{22}^2 \end{array} \right)$ .

Soit la matrice $3 \times 2$

$A:= \left( \begin{array}{ll} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right):= \left( \begin{array}{lll} |e_1|^{-2}&0&0\\ 0&|e_2|^{-2}&0\\ 0&0&|e_3|^{-2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\ -1&0\\ 0&-1 \end{array} \right) B^T$ ,

où $B^T:= \left( \begin{array}{ll} b_{11} & b_{21} \\ b_{12} & b_{22} \end{array} \right)$ .

Pour tout $i \in \{1;2;3\}$ , on définit :

$f_i=a_{i1}\,v_i^y-a_{i2}\,v_i^x$ et $g_i=a_{i1}\,v_i^x+a_{i2}\,v_i^y$ .

Enfin, on note :
1. $v_1=X_3-X_2=\left(\begin{array}{l}x_3-x_2\\y_3-y_2\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}v_1^x\\v_1^y \end{array}\right);$
2. $v_2=X_1-X_3=\left(\begin{array}{l}x_1-x_3\\y_1-y_3\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}v_2^x\\v_2^y \end{array}\right);$
3. $v_3=X_2-X_1=\left(\begin{array}{l}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}v_3^x\\v_3^y \end{array}\right);$

$w_1=\left(\begin{array}{c}v_1^x\, v_1^x\\2\,v_1^x \,v_1^y\\v_1^y \,v_1^y\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}(x_3-x_2)^2\\2(x_3-x_2)(y_3-y_2)\\(y_3-y_2)^2\end{array}\right)$ ;
$w_2=\left(\begin{array}{c}v_2^x \,v_2^x\\2\,v_2^x\, v_2^y\\v_2^y \,v_2^y\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}(x_1-x_3)^2\\2(x_1-x_3)(y_1-y_3)\\(y_1-y_3)^2\end{array}\right)$ ;
$w_3=\left(\begin{array}{c}v_3^x \,v_3^x\\2\,v_3^x\, v_3^y\\v_3^y\, v_3^y\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}(x_2-x_1)^2\\2(x_2-x_1)(y_2-y_1)\\(y_2-y_1)^2\end{array}\right)$ .

Remarque 6 : Si $V$ est une vecteur ligne de taille $n$ , on utilisera la notation $V T$ pour l'écrire en tant que vecteur ligne de taille $n$ : cela s'appelle la transposée du vecteur V (où encore le vecteur transposé de V). Exemple : $v_1^T=(v_1^x;v_1^y)$

Construction de la matrice $C$

La matrice $C$ se construit comme le produit de deux matrices $C = D * E$ , où

$D$ est une matrice $21 \times 24$ définie par :

$D:= \left( \begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} I_3&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 6}\\ \hline 0_{2 \times 3}&B^T&0_{2 \times 2}&0_{2 \times 2}&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 6}\\ \hline 0_{2 \times 3}&0_{2 \times 2}&B^T&0_{2 \times 2}&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 6}\\ \hline 0_{2 \times 3}&0_{2 \times 2}&0_{2 \times 2}&B^T&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 3}&0_{2 \times 6}\\ \hline 0_{3 \times 3}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&\Theta&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 6}\\ \hline 0_{3 \times 3}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 3}&\Theta&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 6}\\ \hline 0_{3 \times 3}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 3}&\Theta&0_{3 \times 6}\\ \hline 0_{3 \times 3}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 2}&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 3}&0_{3 \times 3}&Q \end{array} \right)$ , où $Q:=\left(\begin{array}{ccc|ccc} f_1&0&0&g_1&0&0\\ 0&f_2&0&0&g_2&0\\ 0&0&f_3&0&0&g_3 \end{array} \right)$ .

$E$ est une matrice $24 \times 21$ définie par :

$E:=\left(\begin{array}{c|c} I_{18}&0_{18 \times 3}\\ \hline 0_{3 \times 18}&L\\ \hline T&0_{3 \times 0} \end{array} \right)$ ,

où

$L:=\left(\begin{array}{ccc} |e_1|&0&0\\ 0&|e_2|&0\\ 0&0&|e_3| \end{array} \right)$ ;
$T:=\left(\begin{array}{c|c|c} T_1&T_2&T_3 \end{array} \right)$ , où :
1. $T 1$ est une matrice $3 \times 3$ définie par $T_1:=\frac{15}{8}\left(\begin{array}{lll} 0&-1&1\\ 1&0&-1\\ -1&1&0 \end{array} \right)$ ;
2. $T 2$ est une matrice $3 \times 6$ définie par $T_2:=\frac{-7}{16}\left(\begin{array}{ccc} 0_{1 \times 2}&v_1^T&v_1^T\\ v_2^T&0_{1 \times 2}&v_2^T\\ v_3^T&v_3^T&0_{1 \times 2} \end{array} \right)$ ;
3. $T 3$ est une matrice $3 \times 9$ définie par $T_3:=\frac{1}{32}\left(\begin{array}{ccc} 0_{1 \times 3}&-w_1^T&w_1^T\\ w_2^T&0_{1 \times 3}&-w_2^T\\ -w_3^T&w_3^T&0_{1 \times 3} \end{array} \right)$ .

Exemple

Voici la liste des fonctions de base d'Argyris dans le triangle de référence avec la condition correspondante (cela signifie que le degré de liberté associé à la condition vaut 1 et que les autres valent 0).

$\begin{array}{ll} \varphi_{1}(x,y) = 1 - 10x^3 - 10y^3 + 15x^4 - 30x^2y^2 + 15y^4 - 6x^5 + 30x^3y^2 + 30x^2y^3 - 6y^5, & (\varphi_1(0,0) = 1), \\ \varphi_{2}(x,y) = 10x^3 - 15x^4 + 15x^2y^2 + 6x^5 - 15x^3y^2 - 15x^2y^3, & (\varphi_2(1,0) = 1),\\ \varphi_{3}(x,y) = 10y^3 + 15x^2y^2 - 15y^4 - 15x^3y^2 - 15x^2y^3 + 6y^5, & (\varphi_{3}(0,1) = 1),\\ \varphi_{4}(x,y) = x - 6x^3 - 11xy^2 + 8x^4 + 10x^2y^2 + 18xy^3 - 3x^5 + x^3y^2 - 10x^2y^3 - 8xy^4, & (\partial_x\varphi_4(0,0) = 1),\\ \varphi_{5}(x,y) = y - 11x^2y - 6y^3 + 18x^3y + 10x^2y^2 + 8y^4 - 8x^4y - 10x^3y^2 + x^2y^3 - 3y^5, & (\partial_y\varphi_5(0,0) = 1),\\ \varphi_{6}(x,y) = -4x^3 + 7x^4 - 3.5x^2y^2 - 3x^5 + 3.5x^3y^2 + 3.5x^2y^3, & (\partial_x\varphi_6(1,0) = 1),\\ \varphi_{7}(x,y) = -5x^2y + 14x^3y + 18.5x^2y^2 - 8x^4y - 18.5x^3y^2 - 13.5x^2y^3, & (\partial_y\varphi_7(1,0) = 1),\\ \varphi_{8}(x,y) = -5xy^2 + 18.5x^2y^2 + 14xy^3 - 13.5x^3y^2 - 18.5x^2y^3 - 8xy^4, & (\partial_x\varphi_{8}(0,1) = 1),\\ \varphi_{9}(x,y) = -4y^3 - 3.5x^2y^2 + 7y^4 + 3.5x^3y^2 + 3.5x^2y^3 - 3y^5, & (\partial_y\varphi_{9}(0,0) = 1),\\ \varphi_{10}(x,y) = 0.5x^2 - 1.5x^3 + 1.5x^4 - 1.5x^2y^2 - 0.5x^5 + 1.5x^3y^2 + x^2y^3, & (\partial^2_{xx}\varphi_{10}(0,0) = 1),\\ \varphi_{11}(x,y) = xy - 4x^2y - 4xy^2 + 5x^3y + 10x^2y^2 + 5xy^3 - 2x^4y - 6x^3y^2 - 6x^2y^3 - 2xy^4, & (\partial^2_{xy}\varphi_{11}(0,0) = 1),\\ \varphi_{12}(x,y) = 0.5y^2 - 1.5y^3 - 1.5x^2y^2 + 1.5y^4 + x^3y^2 + 1.5x^2y^3 - 0.5y^5, & (\partial^2_{yy}\varphi_{12}(0,0) = 1),\\ \varphi_{13}(x,y) = 0.5x^3 - x^4 + 0.25x^2y^2 + 0.5x^5 - 0.25x^3y^2 - 0.25x^2y^3, & (\partial^2_{xx}\varphi_{13}(1,0) = 1),\\ \varphi_{14}(x,y) = x^2y - 3x^3y - 3.5x^2y^2 + 2x^4y + 3.5x^3y^2 + 2.5x^2y^3, & (\partial^2_{xy}\varphi_{14}(1,0) = 1),\\ \varphi_{15}(x,y) = 1.25x^2y^2 - 0.75x^3y^2 - 1.25x^2y^3, & (\partial^2_{yy}\varphi_{15}(1,0) = 1),\\ \varphi_{16}(x,y) = 1.25x^2y^2 - 1.25x^3y^2 - 0.75x^2y^3, & (\partial^2_{xx}\varphi_{16}(0,1) = 1),\\ \varphi_{17}(x,y) = xy^2 - 3.5x^2y^2 - 3xy^3 + 2.5x^3y^2 + 3.5x^2y^3 + 2xy^4, & (\partial^2_{xy}\varphi_{17}(0,1) = 1),\\ \varphi_{18}(x,y) = 0.5y^3 + 0.25x^2y^2 - y^4 - 0.25x^3y^2 - 0.25x^2y^3 + 0.5y^5, & (\partial^2_{yy}\varphi_{18}(0,1) = 1),\\ \varphi_{19}(x,y) = \sqrt{2}(-8x^2y^2 + 8x^3y^2 + 8x^2y^3),& \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(\sqrt{0.5}(\partial_{x}\varphi_{19}(0.5,0.5) + \partial_{y}\varphi_{19}(0.5,0.5)) = 1),\\ \varphi_{20}(x,y) = -16xy^2 + 32x^2y^2 + 32xy^3 - 16x^3y^2 - 32x^2y^3 - 16xy^4, &(-\partial_{x}\varphi_{20}(0,0.5) = 1),\\ \varphi_{21}(x,y) = -16x^2y + 32x^3y + 32x^2y^2 - 16x^4y - 32x^3y^2 - 16x^2y^3, &(-\partial_{y}\varphi_{21}(0.5,0) = 1),\\ \end{array}$

Remarque 4 : L’ordre n’a a priori aucune importance. Pour la programmation (ou l’utilisation de manière générale), il faut néanmoins se fixer un ordre et le conserver tout le temps.

Explications :

La condition concernant la normale est $(\partial_{x}\varphi(m_e) + \partial_{y}\varphi(me)) \cdot n_e$ , où $m e$ représente le milieu de l'arête $e$ et $n e$ désigne la normale à l'arête $e$ sortante du triangle.
Expliquons maintenant comment se forme la matrice $A$ .

Tout d'abord, le vecteur colonne $U$ est composé des coefficients à déterminer, c'est-à-dire $U=(a_0\,;\,a_1\,;\,b_1\,;\,a_2\,;\,b_2\,;\,c_2\,;\,a_3\,;\,b_3\,;\,c_3\,;\,d_3\,;\,a_4\,;\,b_4\,;\,c_4\,;\,d_4\,;\,e_4\,;\,a_5\,;\,b_5\,;\,c_5\,;\,d_5\,;\,e_5\,;\,f_5)$ .

Voyons comment se compose, par exemple, les lignes 1 et 6 de la matrice liées aux conditions $\varphi(0,0) = 1$ et $\partial_x\varphi(1,0) = 1$ (les autres étant similaires).

$\left. \begin{array}{l} \varphi_1(x,y)=a_0+a_1x+b_1y+a_2 x^2+b_2 xy+c_2 y^2+a_3 x^3+b_3 x^2 y+c_3 x y^2+d_3 y^3+a_4x^4+b_4 x^3 y\\[4pt] \,\,\,\,\,\,\,\,+c_4 x^2 y^2+d_4 x y^3+e_4 y^4+a_5 x^5+b_5 x^4 y+c_5 x^3 y^2+d_5 x^2 y^3 + e_5 x y^4+f_5 y^5\\[6pt] \Rightarrow \varphi_1(0,0)=a_0. \end{array} \right.$

Donc la première ligne de la matrice M est $(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ .

$\left. \begin{array}{l} \varphi_6(x,y)=a_0+a_1x+b_1y+a_2 x^2+b_2 xy+c_2 y^2+a_3 x^3+b_3 x^2 y+c_3 x y^2+d_3 y^3+a_4x^4+b_4 x^3 y\\[4pt] \,\,\,\,\,\,\,\,+c_4 x^2 y^2+d_4 x y^3+e_4 y^4+a_5 x^5+b_5 x^4 y+c_5 x^3 y^2+d_5 x^2 y^3 + e_5 x y^4+f_5 y^5\\[6pt] \Rightarrow \partial_x \varphi_6(x,y)=a_1+2a_2 x+b_2 y+3a_3x^2+2b_3 xy+c_3y^2+4a_4x^3+3b_4x^2y+2c_4xy^2+d_4y^3\\[4pt] \,\,\,\,\,\,\,\,+5a_5x^4+4b_5x^3y+3c_5x^2y^2+2d_5xy^3+e_5y^4\\[6pt] \Rightarrow\partial_x \varphi_6(1,0)=a_1+2a_2+3a_3+4a_4+5a_5. \end{array}\right.$ .

Donc la sixième ligne de la matrice M est $(0,1,0,2,0,0,3,0,0,0,4,0,0,0,0,5,0,0,0,0,0)$ .

Bibliographie

V. Girault, P.-A. Raviart. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. Theory and algorithms. Springer Series in Computational Mathematics, 5. Springer-Verlag, Berlin, 1986.
S. Nicaise, K.Witowski and B. I. Wohlmuth. An a posteriori error estimator for the Lamé equation based on equilibrated fluxes. IMA Journal of Numerical Analysis, 28, no.2, pp 331-353, 2008.
Librairie de getfem++
V. Domínguez, F.J. Sayas. Algorithm 884: A simple MATLAB implementation of the Argyris element. ACM Trans. Math. Software 35, Article 16, 2008.
M. Okabe. Full-explicit interpolation formulas for the Argyris triangle. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 106, no. 3, pp 381--394, 1993.

Introduction

Logiciels gérant les éléments d’Argyris

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