Fonctions d'Argyris - Définition et Explications

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Introduction

Les fonctions d’Argyris (ou éléments d’Argyris) est un outil en méthodes des éléments finis. Elles sont utilisées pour décrire un polynôme dans un triangle d’un maillage en employant seulement des données connues sur le bord du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) (comme les valeurs au sommet, les valeurs des dérivées premières et secondes au sommet, ainsi que les valeurs « liées aux arêtes »). l'avantage est que l'on peut se ramener à un espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) finie que l'on peut utilisé pour le calcul numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...).

Utilisées en modélisation numérique, ces fonctions furent introduites dans les années 1950; mais d'autres styles de fonctions sont également employées en pratique en fonction des problèmes à résoudre.

Introduction

Contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...)

John Hadji Argyris (1913-2004) est l’un des précurseurs dans le domaine des méthodes des éléments finis, utilisée lors de résolution numérique d’équations différentielles issues de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), mécanique… comme la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des plaques. Ses concepts sont apparus en premier lors de la Seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) Guerre Mondiale, ce qui rendait ses premiers résultats top secret.

Le principe des fonctions d'Argyris consiste à exprimer un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) avec pour seules informations des données relatives au maillage du domaine. Bien évidemment, d'autres fonctions sont utilisées en Méthodes des Eléments Finis (Lagrange, Raviart-Thomas, Nédélec, GaussLobatto, Hermite, Morley, Bell…) ayant chacune leurs avantages ainsi que leurs inconvénients (tout dépend du problème que l'on veut résoudre).

Les éléments d'Argyris sont exclusivement dénommés ainsi pour la dimension 2 (\mathbb{R}^2). En dimension 1, voire 3, on parle plutôt d'éléments de type Argyris.

Cadre d’étude

On se place dans \mathbb{R}^2. Les variables sont appelées x et y. Soit T un triangle quelconque, non aplati.

Les fonctions d'Argyris liées à T sont des fonctions de base de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) \mathbb{P}_5(T) qui représente l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des polynômes à deux variables x et y ((x,y) \in T) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) au plus 5.

Approche formelle

Un élément M \in \mathbb{P}_5(T) s'écrit de manière unique sous la forme

M = a0 + a1x + b1y + a2x2 + b2xy + c2y2 + a3x3 + b3x2y + c3xy2 + d3y3 + a4x4 + b4x3y + c4x2y2 + d4xy3 + e4y4 + a5x5 + b5x4y + c5x3y2 + d5x2y3 + e5xy4 + f5y5.

Ainsi, la seule donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) des coefficients a_0\,,\,a_1\,,\,a_2\,,\,a_3\,,\,a_4\,,\,a_5\,,\,b_1\,,\,b_2\,,\,b_3\,,\,b_4\,,\,b_5\,,\,c_2\,,\,c_3\,,\,c_4\,,\,c_5\,,\,d_3\,,\,d_4\,,\,d_5\,,\,e_4\,,\,e_5\,,\,f_5 suffit à écrire tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) élément de \mathbb{P}_5(T). C'est pourquoi l'espace \mathbb{P}_5(T) est un espace de dimension 21 (nombre de coefficients à déterminer).

Il nous faut alors 21 relations (conditions) indépendantes afin de pouvoir déterminer ces 21 coefficients : on appelle cela les degrés de liberté.

Une base possible est {1,x,y,x2,xy,y2,x3,x2,y2,y3,x4,x3y,x2y2,xy3,y4,x5,x4y,x3y2,x2y3,xy4,y5}: on l'appelle la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière...).

Dans la pratique, il est extrêmement difficile (et surtout pas pratique) de pouvoir trouver les 21 coefficients avec cette base. C'est pourquoi nous formulons une base différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) formée des fonctions d'Argyris. Elles sont liées à des conditions données :

  • sur la valeur de la fonction M en chaque sommet (3 relations);
  • sur la valeur des dérivées premières de la fonction M en chaque sommet (6 relations);
  • sur la valeur des dérivées secondes de la fonction M en chaque sommet (9 relations);
  • sur la valeur "liée à la normale" pour chaque arête (3 relations).


Triangle Argyris.JPG


Remarque 1 : Ces conditions ne sont pas uniques : on peut toujours trouver d'autres conditions, mais celles-ci sont les plus simples à mettre en application.


Remarque 2 : Le dernier point (Graphie) concerne la valeur "liée à la normale". C'est une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) un peu particulière qui peut être différente selon les travaux. Vous trouverez ici une définition possible et qui est la plus couramment utilisée.


Avec ces données, il est possible de calculer toutes les fonctions d'Argyris pour n'importe quel triangle : il suffit pour cela de résoudre un système linéaire AU=B où :

  • A est une matrice 21*21;
  • U est un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) de taille 21 composé des 21 coefficients;
  • B est un vecteur de taille 21 dont toutes les composantes sont nulles sauf une qui correspond à la condition adéquate.

Vous pourrez trouver un exemple de fonctions d'Argyris dans la partie avec les conditions indiquées entre parenthèses.


Remarque 3 : Résoudre ce système est équivalent à inverser la matrice A.


En pratique, il est impensable de calculer toutes les fonctions de bases pour chaque triangle car le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de triangles peut être énorme (de l'ordre de plusieurs millions par exemple). C'est pourquoi, on calcule les fonctions sur un triangle particulier dit de référence ayant pour sommets les points (0;0), (1;0),(0;1) et on en "déduit" les fonctions d'Argyris dans un triangle particulier.

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