Vecteur - Définition et Explications

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Introduction

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et le vecteur somme.

En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) et de multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...). Un n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n...) peut constituer un exemple de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...), à condition qu'il appartienne à un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) muni des opérations adéquates. On représente fréquemment les vecteurs comme de simples n-uplets ou, graphiquement, par des flèches. Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre un. Les matrices sont des tenseurs d'ordre deux et les matrices d'une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation...) transformant les vecteurs en forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier...) constituent une forme particulière de vecteurs, appelées aussi bivecteurs.

En mathématiques, rigoureusement axiomatisée, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...).En algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre...), un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) vectoriel est une fonction de \mathbb{R}^{n} dans \mathbb{R}^{n}. Un vecteur est une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) entre un élément de \mathbb{R}^{n} et son image dans \mathbb{R}^{n}; c'est donc un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...) dans un espace multidimensionnel. Résoudre une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) différentielle, c'est calculer les courbes auxquelles sont tangents les vecteurs, ceux-ci formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de...) un champ de vecteurs. Le calcul du centre de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) ou barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble...) fait aussi appel aux vecteurs ; les coordonnées définies à partir du centre de masse sont appelées coordonnées barycentriques.

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), les vecteurs sont grandement utilisés,ils permettent de modéliser des grandeurs comme par exemple une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) ou un champ électrique (En physique, on désigne par champ électrique un champ créé par des particules...). On parle aussi de vecteur-vitesse.

La notion est issue de la combinaison (Une combinaison peut être :) des notions de couple de points de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...) (qui permettent de définir les distance, mais aussi la direction et le sens), et des possibilités de calcul offertes par l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...).

La notion de vecteur peut être définie en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) deux (le plan), trois (l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) usuel), et plus généralement des espaces de dimension quelconque.

Histoire

La notion de vecteur est le fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine....) d'une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans. Deux familles d'idées, d'abord distinctes, sont à l'origine de la formalisation. L'une d'elle est la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), traitant de longueurs, d'angles et de mesures de surfaces et de volumes. L'autre correspond à l'algèbre, qui traite des nombres, de l'addition ou la multiplication et plus généralement d'ensembles munis d'opérations. Un vieux problème d'algèbre nous vient par exemple des Égyptiens et s'exprime de la manière suivante :

« On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ? »

Ces deux familles d'idées sont développées indépendamment, pour finir par converger vers la notion de vecteur.

Origines des deux concepts

Les Éléments formalise une structure géométrique initialement utilisé pour décrire l'ancêtre de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...).

La civilisation grecque développe la géométrie à un niveau inégalé à cette époque. L'un des fleurons est le traité nommé les Éléments d'Euclide, datant du IIIe siècle av. J.-C.. Il contient la formalisation, très rigoureuse pour l'époque, d'une géométrie, encore maintenant appelée euclidienne. On y trouve les définitions d'une droite, d'un plan ou de notre espace physique de dimension trois permettant de modéliser des volumes. Les propriétés des distances, des angles, des mesures de surfaces et de volumes sont étudiées. Les théorèmes fondateurs, comme ceux appelés Thalès ou Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας /...), sont explicités et démontrés.

L'algèbre y est peu développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...) et contient essentiellement de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...). Les nombres entiers et rationnels sont étudiés ainsi que quelques irrationnels, c'est-à-dire les nombres qui ne s'écrivent pas sous forme d'une fraction d'entiers. Les nombres sont toujours strictement positifs.

les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) ont en Chine un rôle analogue aux Éléments d'Euclide en occident (L'Occident, ou monde occidental, est une zone géographique qui désignait initialement...).

La Chine développe les premières idées algébriques à l'origine des vecteurs. Un vieux texte, datant probablement du Ier siècle av. J.-C. : les Neuf Chapitres sur l'art mathématique y consacre sa huitième partie. Elle s'intitule Fang cheng ou Disposition rectangulaire et traite d'un problème maintenant appelé système d'équations linéaires. Cette culture (La définition que donne l'UNESCO de la culture est la suivante [1] :) n'en reste pas là, Qin Jiushao généralise cette étude à des nombres différents des entiers ou rationnels. Il utilise les congruences, inaugurant une démarche consistant à définir des vecteurs sur des ensembles de nombres exotiques. Il peut ainsi résoudre des problèmes liés au calendrier (Un calendrier est un système de repérage des dates en fonction du temps. Ces systèmes ont été...) et aux alignements de planètes avec une très grande précision. La méthode utilisée ne sera connue qu'au XIXe siècle en Occident, sous le nom de pivot de Gauss. Ce résultat est suffisamment étonnant pour que Libbrecht précise que :

« Nous ne devrions pas sous-estimer la percée révolutionnaire de Qin, en effet, depuis le théorème des restes chinois (Le théorème des restes chinois est un résultat d'arithmétique traitant de résolution de...) de Sun (Sun Microsystems (NASDAQ : SUNW) est un constructeur d'ordinateurs et un éditeur de...) Zi, on passe sans intermédiaire à un algorithme plus avancé que la méthode de Gauss elle-même, et il n'y a pas la moindre indication (Une indication (du latin indicare : indiquer) est un conseil ou une recommandation, écrit...) d'une évolution graduelle. »

L'aspect géométrique n'échappe pas aux mathématiciens chinois. Le dernier chapitre, le Gou gu comporte un équivalent du théorème de Thalès (Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème...) et de Pythagore.

Convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) de l'algèbre et de la géométrie

Illustration extraite du traité de perspective De prospectiva pingendi de Piero della Francesca (Piero di Benedetto de Franceschi dit Piero della Francesca ou encore Pietro Borghese est né...), un peintre de la renaissance italienne (Italienne est le nom communément utilisé pour le cordage servant a manœuvrer un enrouleur....).

L'existence de lien entre ce que l'on appelle maintenant l'algèbre et la géométrie est ancienne. Les Babyloniens connaissaient déjà la propriété algébrique de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de côté de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) un, à savoir que son carré est égal à deux. Ils savaient de plus calculer cette valeur avec une remarquable précision. Ce lien est aussi connu des Grecs et des Chinois.

Il faut cependant attendre la civilisation arabe pour observer un progrès significatif. Leurs mathématiciens connaissaient les travaux des Grecs, particulièrement ceux d'Euclide. Les notations utilisées laissent penser qu'ils avaient aussi accès à des travaux des premiers mathématiciens chinois. Le progrès déterminant consiste à associer au plan géométrique des coordonnées. Omar Khayyam (L'écrivain et savant persan connu en francophonie sous le nom d'Omar Khayyām ou de...) cherche les solutions d'un problème purement algébrique : trouver les racines d'un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) du troisième degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...). Un système de coordonnées lui permet de visualiser ces racines comme les abscisses des intersections d'une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des...) et d'une hyperbole.

Le système des coordonnées est repris en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...). La volonté de maitriser la perspective pousse (Pousse est le nom donné à une course automobile illégale à la Réunion.) les peintres italiens à étudier les mathématiques. Filippo Brunelleschi découvre les lois de la perspective, issues d'une projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) centrale. Ces résultats sont formalisés par Leon Battista Alberti (Leon Battista Alberti (né le 18 février 1404 à Gênes – mort le...) . Les théoriciens de la perspective disposent de multiples talents. Ainsi Piero della Francesca , auteur d'un traité sur la question, est à la fois peintre et mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...). Giorgio Vasari indique, à propos de ses talents de géomètre « il ne fut inférieur à personne de son époque et peut-être de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...). ».

Apports de la physique

René Descartes (René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine (localité...) utilise l'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...) pour développer le concept de repère cartésien. L'illustration provient de son traité : Les Dioptriques.

La physique est le moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif...) suivant de la convergence entre géométrie et algèbre. En 1604, Galileo Galilei (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence,...) établit la loi de la chute des corps. Les illustrations de ses notes montrent l'utilisation d'un repère. L'optique est la branche qui aboutit au progrès le plus marquant. Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIe siècle, à...) , qui connaissait les écrits de Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence,...), et René Descartes s'écrivent des lettres au sujet de la dioptrique (la manière dont la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) se réfléchit sur un miroir) et à la réfraction (La réfraction, en physique des ondes — notamment en optique, acoustique et sismologie...) (la déviation d'un rayon lumineux quand il change de milieu, par exemple en passant de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et...) à l'eau). Ils arrivent à la conclusion qu'un repère est une méthode systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour...) permettant d'appréhender tous les problèmes de géométrie euclidienne. Ces résultats sont consignés dans un traité de Descartes. Il écrit en introduction : « Comment le calcul d'arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie ». Pour Descartes, calcul d'arithmétique signifie approximativement ce qui est maintenant appelé algèbre. Cette approche est particulièrement féconde pour l'étude d'une branche naissante des mathématiques : la géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les...). Un exemple est donné par l'étude de la cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane...). Cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) décrit la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et...) d'un point (Graphie) de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) d'une roue (La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe...) se déplaçant sans glissement sur un sol horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la...).

Isaac Newton (Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre...) développe la géométrie analytique et l'utilise en astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...). Cette application est l'origine de l'utilisation du terme vecteur. En 1704, un dictionnaire technique anglais indique :

« Une ligne dessinée depuis une planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de...), se déplaçant autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) d'un centre ou du foyer d'une ellipse, jusqu'à ce centre ou ce foyer, est appelé Vecteur par quelques auteurs de la Nouvelle Astronomie, car cette ligne semble porter la planète autour du centre. »

Ce terme apparait en français sous la plume (Une plume est, chez les oiseaux, une production tégumentaire complexe constituée de...) de Pierre-Simon Laplace (Pierre-Simon Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge (Calvados), mort le 5 mars 1827 à...) dans l'expression rayon vecteur, encore dans un contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) astronomique. Il vient du latin vector et désigne le conducteur d’un chariot (Un chariot est un plateau équipé de quatre roues, et sert au transport de charges. Par...). Son origine est plus ancienne, elle provient de l'indo-européen *VAG, ou *VAGH et signifie chariot.

Ainsi, au XVIIe siècle, le contexte géométrique et algébrique du vecteur est présent. En revanche, aucune formalisation n'est proposée et le terme, s'il est utilisé, désigne encore une grandeur scalaire.

Formalisations

Giusto Bellavitis est un mathématicien italien auteur de la formalisation des vecteurs par la notion de bipoint et d'équipollence.

La première formalisation des vecteurs est le fruit d'un travail de plusieurs mathématiciens durant la première moitié du XIXe siècle. Bernard Bolzano (1781 - 1848) publie un livre élémentaire contenant une construction axiomatique de la géométrie analogue à celle d'Euclide, fondée sur des points, droites et plans. Il adjoint les opérations algébriques d'addition et de multiplication. La géométrie projective (En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie...), héritière du travail sur la perspective des peintres de la renaissance italienne, conduit Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867) et Michel Chasles (1793 - 1880) à affiner les travaux de Bolzano. August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) apporte sa pierre à l'édifice en développant le système de coordonnées barycentriques. Enfin, la formalisation encore actuellement enseignée, à partir des notions de bipoint et d'équipollence, est l'œuvre de Giusto Bellavitis (1803 - 1880).

Une autre voie est explorée, purement algébrique. William Rowan Hamilton (1805 - 1865) remarque que les nombres complexes représentent un plan euclidien. Il passe dix ans de sa vie (La vie est le nom donné :) à chercher un équivalent en dimension trois, et finit par trouver le corps des quaternions, de dimension quatre en 1843. Il propose deux nouvelles définitions pour les mots « vecteur » et « scalaire ». Un vecteur est pour lui un élément d'un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) des quarternions, de dimension trois. Il écrit :

« Un vecteur est donc… une sorte de triplet naturel (suggéré par la géométrie) : et en conséquence nous verrons que les quaternions offrent une représentation symbolique simple sous forme trinomiale (i.x + j.y + k.z); ce qui ramène la conception et l'expression d'un tel vecteur à la forme la plus proche possible de celle obtenue avec les coordonnées cartésiennes et rectangulaires. »

Cette deuxième voie, qui donne pour la première fois une signification analogue aux formalisations modernes de la notion de vecteur, est ensuite précisée et enrichie. Elle consiste maintenant à définir un vecteur comme un élément d'un espace vectoriel.

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