Loi géométrique - Définition
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Espérance, variance, écart type
L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p est
La variance est
L'écart type est donc
Calculs préliminaires, pour tout x de [0 ; 1[,
En particulier
On peut alors utiliser ces identités pour le calcul de l'espérance :
![\begin{align}\mathbb{E}[X] &= \sum_{k=1}^{+\infty} kq^{k-1} p\\ &= \frac{p}{(1-q)^2}\\&= \frac 1p,\end{align}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/da4a3139ad0edc2f485bf1b8a24407a0_1cc80236ef12abd0060de8bb65f209e6.png)
car 1 − q = p, et pour celui de la variance :
![\begin{align} V(X)&= \left(\sum_{k=1}^{+\infty} k^2q^{k-1} p\right) - \mathbb{E}[X]^2\\&= \frac{2p}{(1-q)^3}- \frac{p}{(1-q)^2} - \frac{1}{p^2}\\&= \frac{2}{p^2} - \frac 1p-\frac{1}{p^2}\\&= \frac{q}{p^2}.\end{align}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/9c3b3466f8bcfcf29fbeab199805860f_cab40e90662cdedaeb1599edafa74302.png)
