Notation (mathématiques) - Définition
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Quantificateurs
Voir calcul des prédicats pour un point de vue plus théorique sur ces notations.
Pour tout
Notation
Exemples
-
- Quel que soit n entier naturel, n est supérieur ou égal à zéro.
-
-
- Forme condensée.
-
- Pour tout réel a, si a est inférieur ou égal à zéro, et si a est supérieur ou égal à zéro, alors a est nul.
- Tout réel, à la fois supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à zéro, est nul.
Il existe
Notation
Exemples
-
- Il existe un élément dans
-
- Il existe un élément dans
-
- Il existe un réel x tel que x soit plus grand ou égal à un.
-
-
- Forme condensée.
Exemples généraux
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- Pour tout entier naturel n, il existe un autre entier naturel m tel que m soit supérieur ou égal à n.
- Tout entier naturel est inférieur ou égal à au moins un autre entier naturel.
-
- Il existe un entier naturel m tel que quel que soit l'entier naturel n, m soit plus grand que n.
-
- On notera donc que l'ordre des quantificateurs est important : la première proposition est vraie, l'autre est fausse.
![\forall (a,l)\in\mathbb{R}^2, \exists f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \forall \epsilon \in \mathbb{R_+^*}, \exists \alpha\in\mathbb{R_+^*}, \forall x\in[a-\alpha,a+\alpha], |f(x)-l|\le\epsilon](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/b/bdc4ee9d572b4ded9f3a0d54c65a2882_2e7c27377c35ce40b27422f39a3a5799.png)
-
- Pour tout réels a et l, il existe une application f de
- Pour tout réels a et l, il existe une application f de
- Les quantificateurs permettent de définir les notions mathématiques.
Il existe un unique
La notation
- ∃! x P(x) équivaut par définition à ∃ x [P(x) ∧ ∀ y (P(y) ⇒ y = x)]
ou de façon équivalente :
- ∃! x P(x) équivaut à ∃ x P(x) ∧ ∀ x ∀ y [(P(x) ∧ P(y)) ⇒ y = x] .
Exemple.
