Propriété universelle - Définition

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- Introduction - Propriété universelle : définition - Propriété universelle de la somme directe externe - Propriété universelle des modules quotients - Propriété universelle du produit - Propriété universelle des modules libres - Propriété universelle des corps des fractions - Propriété universelle des anneaux de fractions - Propriété universelle des groupes quotients - Propriété universelle des algèbres

Propriété universelle des groupes quotients

Cette propriété est similaire à celle des modules quotients.

Soient $\displaystyle G$ et $\displaystyle F$ deux groupes, soit $H \triangleleft G$ Soit $f : G \longrightarrow F$ un morphisme de groupes tel que $H \subset ker f$ .

Alors il existe un unique morphisme de groupe $\bar f : \frac {G}{H} \longrightarrow F$ tel que $f = \bar f \circ \pi$ avec $\displaystyle \pi$ la surjection cannonique.

La démonstration de cette propriété est semblable à celle de la propriété universelle des modules quotients, sauf qu'on suppose dans les prémisses que $\displaystyle f$ est constante sur les classes. Par ailleurs, on introduit la normalité de $\displaystyle H$ dans $\displaystyle G$ pour ne pas avoir à énoncer la propriété pour le groupe quotient à gauche et pour le groupe quotient à droite.

Propriété universelle des algèbres

Soient $\displaystyle R$ un corps, $\displaystyle A$ une R-algèbre, $\displaystyle I$ un idéal bilatère de $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ une R-algèbre. Soit $f : A \longrightarrow B$ un morphisme d'algèbre tel que $I \subset ker f$ .

Alors il existe un unique morphisme d'algèbre $g : \frac A I \longrightarrow B$ tel que $g \circ \pi = f$ avec $\displaystyle \pi$ la surjection canonique.

$\displaystyle f$ est un morphisme de R-module. La propriété universelle des modules quotients assure qu'il existe $g : \frac A I \longrightarrow B$ R-linéaire tel que $g \circ \pi = f$ . Il suffit donc de montrer que $\displaystyle g$ est un morphisme d'algèbre :

Propriété universelle des anneaux de fractions

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