Propriété universelle - Définition

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- Introduction - Propriété universelle : définition - Propriété universelle de la somme directe externe - Propriété universelle des modules quotients - Propriété universelle du produit - Propriété universelle des modules libres - Propriété universelle des corps des fractions - Propriété universelle des anneaux de fractions - Propriété universelle des groupes quotients - Propriété universelle des algèbres

Introduction

En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur.

Propriété universelle : définition

Soit $\displaystyle F$ un foncteur d'une catégorie $\mathcal C$ dans la catégorie des ensembles ; un couple $\displaystyle (A,\theta)$ où $\displaystyle A$ est un objet de $\mathcal C$ et $\theta \in \displaystyle F(A)$ est solution du problème posé par $\displaystyle F$ si la propriété suivante, dite universelle, est vérifiée :

Pour tout objet $\displaystyle X$ de $\mathcal C$ , pour tout $\displaystyle f$ de $\displaystyle F(\mathcal C)$ il existe un unique morphisme $\displaystyle {g : A \longrightarrow X}$ tel que :

Le foncteur $\displaystyle F$ est le foncteur associé à la propriété universelle.

Propriété universelle de la somme directe externe

Soit $A$ un anneau ; soit $(X_i)_{i\in I}$ une famille de A-modules, $Y$ un A-module ; soit $(f_i : X_i\longrightarrow Y)_{i\in I}$ une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application $\phi : \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i\longrightarrow Y$ A-linéaire telle que : $\forall i\in I$ , $\phi \circ q_i = f_i$ avec $\begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} X_k\\ &\scriptstyle x_i & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix}$ l'injection canonique.

Par analyse synthèse :

Supposons qu'un tel $\displaystyle\phi$ existe. Soit $(x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i$ ; on a :

$\begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \bigoplus_{k\in I}^{ext} X_k\\ & \scriptstyle x_i & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix}$ avec $\displaystyle\delta_{ik}$ symbole de Kronecker ; on a : $\displaystyle \phi \circ q_i (x_i) = \phi(0,...,0,x_i,0,...,0) = f_i(x_i)$ et, pour $(n,m)\in I^2$ , $\displaystyle \phi((x_n+x_m) = \phi((x_n,0)+(0,x_m)) = f_n(x_n)+f_m(x_m)$ par A-linéarité, donc $\phi((x_i)_{i\in I}) = \phi(\sum_{k\in I} x_k\delta_{ik}) = \sum_{i\in I} f_i(x_i)$ ce qui assure l'unicité de $φ$

Posons donc $\begin{matrix}\phi : & \bigoplus_ {i\in I}^{ext} X_i & \longrightarrow & Y\\ & \scriptstyle (x_i)_{i\in I} & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix}$ ; les $\displaystyle f_i$ étant linéaires, $\displaystyle \phi$ est linéaire.

Soit

, on a :

; ainsi nous avons bien

, donc

existe bien.

Propriété universelle des modules quotients

Soient $\displaystyle M$ et $\displaystyle X$ deux A-modules, soit $\displaystyle N$ un sous-module de $\displaystyle M$ , soit $f : M \longrightarrow X$ une application A-linéaire.

Alors il existe une unique application $g : \frac{M}{N} \longrightarrow X$ A-linaire telle que $g \circ \pi = f$ ssi $N \subset Ker f$ , i.e . ssi $\displaystyle f$ est constante sur les classes, avec $\pi : \begin{matrix} M & \longrightarrow & \frac{M}{N} \\ x & \mapsto & \bar x \end{matrix}$ la surjection canonique.

$\displaystyle g$ est l'application déduite de $\displaystyle f$ par passage au quotient ; et on a le diagramme :

$\begin{matrix} M & \displaystyle\xrightarrow{f} & X \\ \pi \downarrow & \displaystyle\nearrow g \\ \displaystyle\frac{M}{N} \end{matrix}$

Par analyse-synthèse :

Supposons qu'une telle application $\displaystyle g$ existe.

Soit $\bar x \in N$ : on a $f(x) = g \circ \pi (x) = g(\bar x) = g(\bar 0)$ car $x \in N$ et $g(\bar 0) = 0$ car $\displaystyle g$ est A-linéaire.

On a bien $N \subset Ker f$ , donc $\displaystyle f$ est bien constante sur les classes.

Supposons $N \subset Ker f$ :

Par analyse-synthèse :

Posons $g : \begin{matrix} \frac{M}{N} & \longrightarrow & X \\ \bar x & \mapsto & f(x) \end{matrix}$ On a $f = g \circ \pi$ ; montrer que $\displaystyle g$ est bien défini :

soient $(x,y) \in M^2$ tels que $\bar x = \bar y$ $g(\bar x - \bar y) = g(\bar 0) = 0$ et $g(\bar x - \bar y) = g(\bar x)-g(\bar y)$ donc $\displaystyle g(\bar x)-g(\bar y) = 0$ donc $g(\bar x) = g(\bar y)$ donc $\displaystyle g$ bien définie et unique.

soit

donc

, ce qui assure l'existence de

Propriété universelle du produit

Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille de A-modules ; soit $\displaystyle M$ un A-module ; soit $(f_i : M \longrightarrow X_i)_{i\in I}$ une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application linéaire $f : M \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i$ telle que $p_i \circ f = f_i$

avec $p_i : \begin{matrix} \prod_{k \in I} X_k & \longrightarrow & X_i \\ \scriptstyle(x_k)_{k \in I} & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle x_i \end{matrix}$ l'i-ème projection canonique.

On a donc le diagramme suivant :

$\begin{matrix} & M \longrightarrow X_i \\ & \scriptstyle f \displaystyle \searrow \displaystyle \uparrow \scriptstyle p_i \\ & \prod_{i \in I} X_i \end{matrix}$

Par analyse-synthèse :

Posons $f : M \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i$

Soit $x \in M$ : $f(x) = (f_i(x))_{i \in I}$ , et on a bien : $p_i(f(x)) = p_i((f_i(x))_{i \in I}) = f_i(x)$

Soit $(x,y) \in M^2$ et $\lambda \in A$ :

$f(\lambda x + y) = (f_i(\lambda x + y)_{i \in I} = \lambda (f_i(x))_{i\in I} + (f_i(y))_{i \in I}$ car les $\displaystyle f_i$ sont linéaires.

Donc

est linéaire, et elle existe.

Propriété universelle des modules libres

Soit $M$ un module libre de base $(e_i)_{i\in I}$ ; soit $Y$ un autre module, soit $(y_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $Y$ .

Alors il existe une unique application linéaire $f : M \longrightarrow Y$ telle que $\forall i\in I$ , $\displaystyle f(e_i) = y_i$

Par analyse synthèse :

Supposons qu'une telle application $f$ existe. Soit $x\in M$ , il existe $(\lambda_i)_{i\in I} \in A^{(I)}$ telle que $x = \sum_{i\in I} \lambda_ie_i$ ; donc :

$f(x) = f(\sum_{i\in I} \lambda_ie_i) = \sum_{i\in I} \lambda_if(e_i) = \sum_{i\in I} \lambda_iy_i$

Posons donc $f : \begin{matrix} \displaystyle M &\longrightarrow &\displaystyle Y\\ \scriptstyle \sum_{i\in I} \lambda_ie_i &\scriptstyle \mapsto &\scriptstyle \sum_{i\in I} \lambda_iy_i \end{matrix}$

$f$ est linéaire, ce qui se démontre aisément ; soit $i\in I$ , $\displaystyle f(e_i) = 1y_i = y_i$

f

existe et est unique.

Propriété universelle des corps des fractions

Cette propriété universelle est un cas particulier de la propriété universelle des anneaux de fractions

Soit $\displaystyle A$ un anneau commutatif intègre; soit $\displaystyle A^{*}$ l'ensemble des éléments non nulls de $\displaystyle A$ ; soit $\displaystyle X$ un anneau commutatif, et $f : A \longrightarrow X$ un morphisme d'anneau. On définit la relation d'équivalence $\sim$ sur $A \times A^{*}$ par $(a,s)\times (b,t) \leftrightarrow (at-bs) = 0$ .

Alors il existe un unique morphisme $g : \frac {A \times A^{*}}{\sim} \longrightarrow X$ tel que $g \circ \theta = f$ .

$\frac {A \times A^{*}}{\sim}$ est un corps.

Propriété universelle des anneaux de fractions

Soit $\displaystyle A$ un anneau commutatif ; soit $\displaystyle S$ une partie multiplicative de $\displaystyle A$ ; soit $\displaystyle X$ un anneau commutatif, et $f : A \longrightarrow X$ un morphisme d'anneau tel que : $\forall s \in S, f(s)$ inversible. On définit la relation d'équivalence $\sim$ sur $A \times S$ par $(a,s)\times (b,t) \leftrightarrow \exists u \in S, u(at-bs) = 0$ .

Alors il existe un unique morphisme $g : \frac {A \times S}{\sim} \longrightarrow X$ tel que $g \circ \theta = f$ , avec $\theta : \begin{matrix} A & \longrightarrow & \frac{A\times S}{\sim} \\ a & \mapsto & \overline {(a,1_A)} \end{matrix}$ On a le diagramme suivant :

$\begin{matrix} A & \xrightarrow {f} & X \\ \theta \downarrow & \nearrow g \\ \frac {A \times S}{\sim} \end{matrix}$

Par analyse-synthèse :

$g(\overline {(a,b)} = g(\overline {(a,1)}\overline {(1,b)}) = g(\overline {(a,1)})g(\overline {(1,b)}) = f(a)g(\overline {(1,b)})$ .

Or $\overline {(1,b)}$ inverse de $\overline {(b,1)}$ : en effet ${(b,b)}\sim {(1,1)} \leftrightarrow \exists u \in S, u(b1-b1) = 0$ .

Donc $\overline {(b,b)} = \overline {(1,1)}$ , $\overline {(b,1)}\overline {(1,b)} = \overline {(b,b)} = \overline {(1,1)}$ ; donc $g(\overline {(a,b)} = f(a)g(\overline {(b,1)^{-1}} = f(a)(g(\overline {(b,1)})^{-1} = f(a)f(b)^{-1}$

Posons $g(\overline {(a,b)} = f(a)f(b)^{-1}$

Montrons que $\displaystyle g$ est constant sur les classes. Soient $\displaystyle (a,b)$ et $\displaystyle (c,d)$ tels que $\displaystyle (a,b)\sim(c,d)$ : Montrons que $g(\overline {(a,b)} = g(\overline {(c,d)}$ : cela revient à montrer que $\displaystyle f(a)f(b)^{-1} = f(c)f(d)^{-1}$ , i.e. $\displaystyle f(ab^{-1}) = f(cd^{-1})$ , i.e. $\displaystyle f(ab^{-1} - cd^{-1}) = 0$ car $\displaystyle b$ et $\displaystyle d$ sont dans $\displaystyle S$ On a : $\displaystyle u(ad - cb) = 0$

$\displaystyle u(add^{-1} - cbd^{-1}) = 0$

$\displaystyle u(ab^{-1} - cbb^{-1}d^{-1}) = 0$

$\displaystyle u(ab^{-1} - cd^{-1}) = 0$

$\displaystyle f(u(ab^{-1} - cd^{-1})) = 0$

$\displaystyle f(u)f((ab^{-1} - cd^{-1})) = 0$ , or $\displaystyle f(u)$ est inversible, donc non null.

Donc

, donc

est bien défini.

Propriété universelle des groupes quotients

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