Samedi 14 Juin 2025
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Semi-norme - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
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- Introduction - Définition et exemples - Norme et espace quotient - Propriétés - Topologie définie par une famille de semi-normes - Espace localement convexe - Famille filtrante de semi-normes

Famille filtrante de semi-normes

Une famille (p_i)_{i \in I} de semi-normes sur l'espace vectoriel E est dite filtrante si pour toute sous-famille finie (p_i)_{i \in J}, J \subseteq I, J finie, il existe une semi-norme p de la famille majorant toutes les semi-normes de J.

Exemple 1: La famille de semi-normes définie précédemment n'est pas filtrante. Cependant on peut toujours définir une famille filtrante en effectuant une "complétion" comme montré ci-après.

Exemple 2 ("complétion" d'une famille quelconque): Soit une famille quelconque \mathcal P=(p_i)_{i \in I} de semi-normes sur E. On peut alors définir la famille \mathcal Q dont les éléments sont définis par \quad p_J= \sup_{j \in J} \quad p_j , J sous-famille finie de I.

On voit facilement alors que \mathcal Q est une famille filtrante de semi-normes.

Topologie définie par une famille de semi-normes - Espace localement convexe
- Introduction - Définition et exemples - Norme et espace quotient - Propriétés - Topologie définie par une famille de semi-normes - Espace localement convexe - Famille filtrante de semi-normes
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