Semi-norme - Définition

Propriétés

Topologie

A l'instar de la norme, une semi-norme définit une topologie pour laquelle les boules ouvertes de centre un point x forment une base de voisinages de x : un ensemble O est ouvert si, pour chaque point x de O, il existe une boule ouverte non vide de centre x incluse dans O. Cette topologie est séparée si et seulement si la semi-norme vérifie la propriété de séparation, c'est-à-dire si la semi-norme est une norme.

Pour cette topologie, l'addition et la multiplication par un scalaire sont continues : on dit que l'espace vectoriel E, muni de cette topologie, est un espace vectoriel topologique. La semi-norme, elle aussi, est continue. Par ailleurs, les boules sont convexes.

Les démonstrations sont analogues à celles proposées dans l'article Norme (mathématiques).

Noyau

Les vecteurs de semi-norme nulle jouent un rôle particulier, ce rôle justifie la définition suivante :

Le noyau possède des propriétés à la fois algébriques et topologiques :

En effet, un vecteur x est adhérent au vecteur nul si et seulement si toute boule ouverte de centre x et de rayon r>0 contient ce vecteur nul, ce qui se traduit par : la semi-norme de x est inférieure à tout r>0, ou encore : x appartient au noyau. Ceci prouve que le noyau est bien l'adhérence du vecteur nul. C'est donc un sous-espace vectoriel fermé (comme l'est toute adhérence d'un sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel topologique).

Cône des semi-normes

La somme de deux semi-normes est une semi-norme. Il en est de même pour la multiplication externe par un scalaire positif. On en déduit que les semi-normes forment un convexe.

Topologie définie par une famille de semi-normes - Espace localement convexe

Soit E un espace vectoriel réel ou complexe muni d'une famille filtrante de semi-normes. Nous définissons la topologie associée en prenant comme base de voisinages de chaque point x les ensembles appelés "p-boules"
{ } définis pour tout et tout R > 0.

Autrement dit les voisinages de x sont les ensembles contenant au moins une "p-boule".
Vérifions que les 4 axiomes des voisinages sont bien vérifiés:

• Tout voisinage de x contient x (évident ici).
• Si est un voisinage de x et alors est voisinage de x (idem).
• L'intersection de 2 voisinages de x est un voisinage de x (en effet si et sont 2 "p-boules" incluses respectivement dans les 2 voisinages, comme la famille de semi-normes est filtrante, il existe une semi-norme de la famille majorant et . Alors définit un voisinage de x inclus dans les 2 voisinages initiaux).
• Il existe un voisinage de x qui soit voisinage de chacun de ses points. En fait toute "p-boule" est voisinage de chacun de ses points puisque si y est un point de la "p-boule" , on peut trouver tel que et alors entraîne . Ceci qui montre que la "p-boule" est incluse dans qui est donc un voisinage de y.

Démontrons maintenant que la topologie que nous venons de définir est compatible avec la structure d'espace vectoriel, ce qui fait de E un espace vectoriel topologique . Un tel espace est dit espace localement convexe.

• L'application est continue.

En effet un voisinage de x+y contient la "p-boule" dont l'antécédent contient le couple de "p-boules"

• L'application est continue.

En effet un voisinage de λx contient la "p-boule" dont l'antécédent contient le couple .

Plus généralement, si est une famille quelconque de semi-normes, la famille complétée selon la procédure définie à l'exemple 2 ci-dessus est filtrante et définit donc un espace localement convexe dont la toplologie est dite définie par la famille .