Théorème de Heine - Définition

Introduction

Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment [a,b] dans est uniformément continue.

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques

Énoncé

Utilisation

étant continue en tout point x, nous savons donc que :

tel que .

Le théorème de Heine permet donc d'affirmer qu'elle est uniformément continue sur le segment , c'est-à-dire que le peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

en .

La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :

Démonstration

Fixons un et posons, pour tout , (où les α_{x,ε / 2} sont ceux liés à la continuité de ).

Considérons . C'est un recouvrement de par des ouverts donc (d'après le Théorème de Borel-Lebesgue) on peut en extraire un sous-recouvrement fini : pour une certaine partie finie de .

Posons . Alors, pour tous tels que , en choisissant un tel que on obtient :

et .

Donc :

.

La valeur α trouvée étant bien indépendante de , l'uniforme continuité est démontrée.

Énoncé et démonstrations dans le cas général

Énoncé

On note la distance sur et la distance sur . Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de dans est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

tel que .

Démonstration directe

On peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement par , par , Théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

Démonstration par la propriété de Bolzano-Weierstrass

Une autre méthode est de raisonner par contraposée en supposant non uniformément continue sur et en prouvant qu'elle n'est alors pas continue sur . Par hypothèse, il existe tel que pour chaque , l'implication soit fausse pour certains , en particulier tel que pour chaque , il existe deux points et de tels que

et .

La suite est à valeurs dans le compact donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note l'extraction et a la limite de la sous-suite. La relation montre que converge aussi vers . Il s'ensuit que pour tout , il existe tels que donc tels que ou , ce qui prouve la non continuité de au point .