Théorie de la décision - Définition

La théorie de la décision dans le risque

Optimisation et maximalisation sont les deux mots-clés définissant les théories de la prise de décision basées sur la rationalisation, c’est-à-dire les théories définissant les normes logiques et rationnelles que tous les preneurs de décisions sont censés suivre pour que le choix soit celui qui "rapporte" le plus. La théorie de l'utilité espérée est l'approche la plus communément retenue par la théorie de la décision pour décrire les choix risqués. Introduisons d'abord quelques notations:
L'incertitude est décrite par un ensemble d'états du monde partitionné par la famille de parties .
Un élément de est appelé événement.
Une variable aléatoire f est une fonction qui associe à chaque ω un résultat noté x.
L'ensemble des résultats est noté X, X étant un sous-ensemble de .
On écrit l'ensemble des variables aléatoires.
Dans le cas du risque, le décideur est supposé connaître les distributions de probabilités induites par les variables aléatoires. La distribution induite par la variable aléatoire f est notée l_f. La relation binaire signifie "est préféré ou indifférent à". Elle compare des loteries (ou distributions de probabilités), c'est-à-dire des projets risqués de la forme l = (x₁,p₁;...;x_n,p_n) où est le résultat obtenu avec la probabilité p_i. On écrit l'ensemble des distributions de probabilités. La règle de décision développée par Von Neumann et Morgenstern en 1944, connue sous le nom "d'utilité espérée", repose sur les hypothèses suivantes, qui sont appelées axiomes et sont postulées sur la relation .

Axiome 1 (préordre total). est un préordre total. Cela signifie que :

• ou (totalité);
• (réflexivité);
• (transitivité).

Axiome 2 (Monotonie). est monotone si pour toutes loteries l et dans on a .

Axiome 3 (Continuité). est continue si pour toutes loteries l_f,l_g et l_h telles que , tels que : .

Axiome 4 (Indépendance). est indépendante si pour tout α dans et pour toutes loteries l_f,l_g et l_h on a :

Nous pouvons maintenant présenter le théorème de représentation de Von Neumann et Morgenstern :

Théorème. Pour une loterie l = (x₁,p₁;...;x_n,p_n), on définit la fonction espérance-utilité par où u est une fonction à valeurs réelles. Etant donnée une relation de préférences , les deux propositions suivantes sont équivalentes:

(i) satisfait les axiomes 1-4;

(ii) Il existe une fonction à valeurs réelles positive à une transformation affine croissante près telle .

Le contenu descriptif du modèle de décision EU a été rapidement critiqué dans une expérience restée cèlèbre sous le nom de "paradoxe d'Allais". La version présentée ici est celle de Kahneman et Tversky (1979). Les sujets doivent choisir entre deux paires de loteries. D'une part, entre l₁ = (3000,1) et l₂ = (0,0.2;4000,0.8) et, d'autre part, entre l₃ = (0,0.75;3000,0.25) et l₄ = (0,0.8;4000,0.2). Le choix le plus fréquemment observé est l₁ dans la première paire et l₄ dans la seconde paire, en contradiction avec les prédictions de la fonction EU(.). Plus spécifiquement, c'est l'axiome d'indépendance qui est violé par les individus. Pour résoudre ce paradoxe, une réponse courante consiste à supposer que le traitement des probabilités n'est pas linéaire. Les individus "déforment" les probabilités en fonction des résultats (par exemple, ils sous-estiment la probabilité d'obtenir 3000 dans la loterie l₃). Principalement axiomatisé par Quiggin (1982), le modèle suivant, appelé "Rank-Dependent Expected Utility " (RDEU), repose principalement sur un affaiblissement de l'axiome d'indépendance. Celui-ci ne tient plus que sur les distributions de probabilités induites par les variables aléatoires ayant le même tableau de variation, c'est-à-dire qui sont communément monotones, ou encore comonotones :

Axiome 4' (Indépendance comonotone). est indépendante pour les variables aléatoires comonotones si pour tout α dans et pour toutes loteries l_f,l_g et l_h telles que , et on a :

Théorème. Etant donnée une relation de préférences , les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) satisfait les axiomes 1-3 et l'axiome 4'; (ii) Il existe une fonction à valeurs réelles positive à une transformation affine croissante près et une fonction à valeurs réelles croissante telle que la valeur d'une loterie l = (x₁,p₁;...;x_n,p_n) est donnée par et .