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Cercle d'Euler

En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle est le cercle passant :

  • par chacun des milieux des trois côtés du triangle,
  • par le pied de chacune des trois hauteurs du triangle,
  • par le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de...) à un sommet du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de trois...).

De nombreux points remarquables du triangle sont situé sur ce cercle : de ce fait il possède plusieurs noms, parmi lesquels : cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, Cercle de Terquem, cercle des 6, 12 ou 24 points, cercle médian, etc.

Cercle et droite d'Euler d'un triangle
Cercle et droite d'Euler d'un triangle

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) et propriétés élémentaires

C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle ABC le centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) G, le centre du cercle circonscrit Ω et l'orthocentre H sont alignés. (Précisément, l'homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit...) de centre G et de rapport - \frac12 transforme H en Ω.)

Notons I1 le milieu de [BC], I2 le milieu de [AC] et I3 le milieu de [AC]. Il n'est pas difficile de voir que cette même homothétie transforme le triangle ABC en le triangle I1I2I3 et le cercle circonscrit de ABC en cercle circonscrit à I1I2I3 : ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler.

Comme cette même homothétie transforme chaque hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de ABC en l'une de ses médiatrices, on a également que les pieds des hauteurs de ABC sont sur le cercle d'Euler et que chacun des milieux des segments [AH], [BH] et [CH] sont également sur le cercle d'Euler.

Découvertes

Brianchon, Poncelet et Feuerbach ont montré indépendamment et à des dates assez proches que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs du triangle sont cocycliques, découvrant ainsi le cercle des 6 points.

Par la suite Olry Terquem ajoute à ce cercle les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre : le cercle porte depuis le nom de cercle des 9 points.

En 1822, Karl Feuerbach démontre que le cercle des 9 points est tangent extérieurement aux cercles exinscrits et tangent intérieurement au cercle inscrit du triangle. Ce résultat s'appelle le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer...) de Feuerbach (et les points de tangence sont les points de Feuerbach).

Depuis, on lui a ajouté quelques dizaines d'autres points remarquables du triangle

Quelques propriétés

  • Le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit.
  • Son centre est sur la droite d'Euler : on a : GH = 2ΩG (Voir relation d'Euler).

Hexagramme de Pascal

Une propriété projective que n'avait pas vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) Euler:

l'hexagramme H1I2H3I1H2I3H1 a pour droite de Pascal la droite d'Euler du triangle.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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