4-polytope régulier convexe

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Introduction

En mathématique, un polytope régulier convexe à 4 dimensions (ou polychore) est un polytope à 4 dimensions qui est à la fois régulier et convexe. Ce sont les analogues en 4 dimensions des solides de Platon (3 dimensions) et des polygones réguliers (2 dimensions).

Ces polytopes furent décrits la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIX siècle. Schläfli découvrit qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leur côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle, leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Propriétés principales

	Pentachore	Tesseract	Hexadécachore	Icosatétrachore	Hécatonicosachore	Hexacosichore
cellules	0005 (tétraèdres)	0008 (cubes)	0016 (tétraèdres)	0024 (octaèdres)	0120 (dodécaèdres)	0600 (tétraèdres
faces	0010 (triangles)	0024 (carrés)	0032 (triangles)	0096 (triangles)	0720 (pentagones)	1200 (triangles)
arêtes	0010	0032	0024	0096	1200	0720
sommets	0005	0016	0008	0024	0600	0120
Dual	Pentachore	Hexadécachore	Tesseract	Icosatétrachore	Hexacosichore	Hécatonicosachore
symbole de Schläfli	{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
figure de sommet	tétraèdre	tétraèdre	octaèdre	cube	tétraèdre	icosaèdre
4-volume	$\frac{5}{96}$	$1$	$\frac{1}{6}$	$2$	$\frac{15 ( 47 φ + 29 )}{2}$	$\frac{25 ( 2 φ + 1 )}{4}$
3-surface	$\frac{5 2}{12}$	$8$	$\frac{4 2}{3}$	$82$	$60 (7 φ + 4)$	$502$
Rayon de la 4-sphère circonscrite	$\frac{10}{5}$	$1$	$\frac{2}{2}$	$1$	$(φ + 1) 2$	$φ$
Rayon de la 4-sphère inscrite	$\frac{10}{2} 0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3 φ + 2}{2}$	$\frac{( 2 φ + 1 ) 2}{2}$
θ	$\frac{π}{2}$	$arccos \frac{1}{4}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{4 π}{5}$	$2 arctan {(2 φ + 1) 3}$

Liste

Pentachore

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraédrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

5 Sommets
10 Arêtes
10 Faces triangulaires
5 cellules tétraédriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie A₄. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Tesseract

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

16 sommets
32 arêtes
24 faces carrées
8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B₄. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hexadécachore

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

8 sommets
24 arêtes
32 faces triangulaires
16 cellules tétraédriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B₄. Sa figure de sommet est un octaèdre.

Icositétrachore

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

24 sommets
96 arêtes
96 faces triangulaires
24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie F₄. Sa figure de sommet est un cube.

Hecatonicosachore

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

600 sommets
1200 arêtes
720 faces pentagonales
120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est H₄. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hexacosichore

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

120 sommets
720 arêtes
1200 faces triangulaires
600 cellules tétraédriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est H₄. Sa figure de sommet est un icosaèdre.

Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png