Algorithme de Gauss-Newton

L'algorithme de Gauss-Newton est une méthode de résolution des problèmes de moindres carrés non-linéaires. Elle peut être vue comme une modification de la méthode de Newton dans le cas multidimensionnel afin de trouver le minimum d'une fonction (à plusieurs variables). Mais l'algorithme de Gauss-Newton est totalement spécifique à la minimisation d'une somme de fonctions au carré et présente le grand avantage de ne pas nécessiter les dérivées secondes, parfois complexes à calculer.

Les problèmes de moindres carrés non-linéaires surviennent par exemple dans les problèmes de régressions non-linéaires, où des paramètres du modèle sont recherchés afin de correspondre au mieux aux observations disponibles.

Cette méthode est due au mathématicien renommé Carl Friedrich Gauss.

Soit m fonctions r_i ($i=1,\dots ,m$) de n variables $\mathbf{\beta }=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n),$ avec m≥n, l'algorithme de Gauss–Newton doit trouver le minimum de la somme des carrés

En débutant avec l'approximation initiale ${\mathbf{\beta }}^0$ du minimum, la méthode procède par itérations:

où l'incrément $\delta \mathbf{\beta }$ vérifie les équations normales

Ici, on note par r le vecteur des fonctions r_i, et par J_r la matrice jacobienne m×n de r par rapport à β, tous les deux évalués en β. La matrice transposée est notée à l'aide de l'exposant T.

Dans les problèmes d'ajustement des données, où le but est de trouver les paramètres $\mathbf{\beta }$ d'un certain modèle $y=f(x,\mathbf{\beta })$ permettant le meilleur ajustement aux observations (x_i,y_i),, les fonctions r_i sont les résidus

Alors, l'incrément $\delta \mathbf{\beta }$ peut s'exprimer en fonction de la jacobienne de la fonction f:

Dans tous les cas, une fois connu l'estimation à l'étape s, les équations normales permettent de trouver l'estimation à l'étape suivante; pour résumer, on a:

L'ensemble du terme de droite est calculable car ne dépend que de ${\mathbf{\beta }}^s$ et permet de trouver l'estimation suivante.

L'hypothèse m≥n est nécessaire, car dans le cas contraire la matrice ${\mathbf{J}}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{J}}_{\mathbf{r}}$ serait non inversible et les équations normales ne pourraient être résolues.

L'algorithme de Gauss–Newton peut être dérivé par approximation linéaire du vecteur de fonctions r_i. En utilisant le Théorème de Taylor, on peut écrire qu'à chaque itération

avec $\delta \mathbf{\beta }={\mathbf{\beta }}_0-{\mathbf{\beta }}^s$; notons que ${\mathbf{\beta }}_0$ représente la vraie valeur des paramètres pour laquelle les résidus $\mathbf{r}({\mathbf{\beta }}_0)$ s'annulent. Trouver l'incrément $\delta \mathbf{\beta }$ revient à résoudre

ce qui peut se faire par la technique classique de régression linéaire et qui fournit exactement les équations normales.

Les équations normales sont un système de m équations linéaires d'inconnu $\delta \mathbf{\beta }$. Ce système peut se résoudre en une étape, en utilisant la factorisation de Cholesky ou, encore mieux, la décomposition QR de J_r. Pour de grands systèmes, une méthode itérative telle que la méthode du gradient conjugué peut être plus efficace. S'il existe une dépendance linéaire entre les colonnes J_r, la méthode échouera car ${\mathbf{J}}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{J}}_{\mathbf{r}}$ deviendra singulier.

Dans cet exemple, l'algorithme de Gauss–Newton est utilisé pour ajuster un modèle en minimisant la somme des carrés entre les observations et les prévisions du modèle.

Dans une expérience de biologie, on étudie la relation entre la concentration du substrat [S] et la vitesse de réaction dans une réaction enzymatique à partir de données reportées dans le tableau suivant.

On souhaite ajuster les données à la courbe de la forme:

L'estimation par moindres carrés porte sur les paramètres V_max et K_M.

On note x_i et y_i les valeurs de [S] et la vitesse de réaction, pour $i=1,\dots ,7.$ On pose β₁ = V_max et β₂ = K_M. Nous allons chercher β₁ et β₂ pour minimiser la somme des carrés des résidus

$r_i=y_i-\frac{{\beta }_1{x}_i}{{\beta }_2+x_i}$   ($i=1,\dots ,7$)

La jacobienne ${\mathbf{J}}_{\mathbf{r}}$ du vecteur des résidus r_i par rapport aux inconnus β_j est une matrice $7\times 2$ dont la ligne n° i est

Commençant avec l'estimation initiale β₁=0,9 et β₂=0,2, il suffit de 5 itérations de l'algorithme de Gauss–Newton pour atteindre les estimations optimales ${\hat{\beta }}_1=0,362$ et ${\hat{\beta }}_2=0,556$. Le critère de la somme des carrés des résidus chute de 1,202 à 0,0886 en 5 itérations. Le tableau suivant détaille les cinq itérations:

La figure ci-contre permet de juger de l'adéquation du modèle aux données en comparant la courbe ajustée (bleue) aux observations (rouge).

On peut démontrer que l'incrément δβ est une direction de descente pour S , et que si l'algorithme converge, alors la limite est un point stationnaire pour la somme des carrés S. Toutefois, la convergence n'est pas garantie, pas plus qu'une convergence locale contrairement à la méthode de Newton.

La vitesse de convergence de l'algorithme de Gauss–Newton peut approcher la vitesse quadratique. L'algorithme peut converger lentement voire ne pas converger du tout si le point de départ de l'algorithme est trop loin du minimum ou si la matrice ${\mathbf{J}}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{J}}_{\mathbf{r}}$ est mal conditionnée.

L'algorithme peut donc échouer à converger. Par exemple, le problème avec m = 2 équations et n = 1 variable, donné par

L'optimum se situe en β = 0. Si λ = 0 alors le problème est en fait linéaire et la méthode trouve la solution en une seule itération. Si |λ| < 1, alors la méthode converge linéairement et les erreurs décroissent avec un facteur |λ| à chaque itération. Cependant, si |λ| > 1, alors la méthode ne converge même pas localement.

Dans ce qui suit, l'algorithme de Gauss–Newton sera tiré de l'algorithme d'optimisation de Newton; par conséquent, la vitesse de convergence sera au plus quadratique.

La relation de récurrence de la méthode de Newton pour minimiser une fonction S de paramètres $\mathbf{\beta }$, est

où g représente le gradient de S et H sa matrice hessienne. Puisque $S={\sum }_{i=1}^m{r}_i^2$, le gradient est

Les éléments de la Hessienne sont calculés en dérivant les éléments du gradient, g_j, par rapport à β_k

La méthode de Gauss–Newton est obtenue en ignorant les dérivées d'ordre supérieur à deux. La Hessienne est approchée par

où $J_{ij}=\frac{\partial r_i}{\partial {\beta }_j}$ est l'élément (i,j) de la jacobienne ${\mathbf{J}}_{\mathbf{r}}$. Le gradient et la hessienne approchée sont alors

Ces expressions sont replacées dans la relation de récurrence initiale afin d'obtenir la relation récursive

La convergence de la méthode n'est pas toujours garantie. L'approximation

doit être vraie pour pouvoir ignorer les dérivées du second ordre. Cette approximation peut être valide dans deux cas, pour lesquels on peut s'attendre à obtenir la convergence:

1. Les valeurs de la fonction r_i sont petites en magnitude, au moins près du minimum;
2. Les fonctions sont seulement faiblement non-linéaires, si bien que $\frac{{\partial }^2{r}_i}{\partial {\beta }_j\partial {\beta }_k}$ est relativement petit en magnitude.

Avec la méthode de Gauss–Newton, la somme des carrés S peut ne pas décroître à chaque itération. Toutefois, puisque $\delta \mathbf{\beta }$ est une direction de descente, à moins que $S({\mathbf{\beta }}^s)$ soit un point stationnaire, il se trouve que $S({\mathbf{\beta }}^s+\alpha \delta \mathbf{\beta })<S({\mathbf{\beta }}^s)$ pour tout α > 0 suffisamment petit. Ainsi, en cas de divergence, une solution est d'employer une fraction, α, de l'incrément, $\delta \mathbf{\beta }$ dans la formule de mise à jour

${\mathbf{\beta }}^{s+1}={\mathbf{\beta }}^s+\alpha \delta \mathbf{\beta }$.

En d'autres termes, le vecteur d'incrément est trop long, mais pointe bien vers le bas, si bien que parcourir une fraction du chemin fait décroître la fonction objectif S. Une valeur optimale pour α peut être trouvée en utilisant un algorithme de Recherche linéaire: la magnitude de α est déterminée en trouvant le minimum de S en faisant varier α sur une grille de l'intervalle 0 < α < 1.

Dans le cas où la direction de l'incrément est telle que α est proche de zéro, une méthode alternative pour éviter la divergence est l'algorithme de Levenberg-Marquardt. Les équations normales sont modifiées de telle sorte que l'incrément est décalé en direction de la descente la plus forte

$\left({\mathbf{J}}^{\mathbf{T}}\mathbf{J}+\lambda \mathbf{D}\right)\delta \mathbf{\beta }={\mathbf{J}}^T\mathbf{r}$,

où D est une matrice diagonale positive. Remarquons que lorsque D est la matrice identité et que $\lambda \to +\infty$, alors $\delta \mathbf{\beta }/\lambda \to {\mathbf{J}}^T\mathbf{r}$, par conséquent la direction de $\delta \mathbf{\beta }$ s'approche de la direction du gradient ${\mathbf{J}}^T\mathbf{r}$.

Le paramètre de Marquardt, λ, peut aussi être optimisé par une méthode de recherche linéaire, mais ceci rend la méthode fort inefficace dans la mesure où le vecteur d'incrément doit être re-calculé à chaque fois que λ change.

Dans une méthode quasi-Newton, comme celle due à Davidon, Fletcher et Powell, une estimation de la matrice Hessienne, $\frac{{\partial }^{2}S}{\partial {\beta }_j\partial {\beta }_k}$, est approchée numériquement en utilisant les premières dérivées $\frac{\partial r_i}{\partial {\beta }_j}$.

Une autre méthode pour résoudre les problèmes de moindres carrés en utilisant seulement les dérivées premières est la descente de gradient. Toutefois, cette méthode ne prend pas en compte les dérivées secondes, même sommairement. Par conséquent, cette méthode s'avère particulièrement inefficace pour beaucoup de fonctions.