Constante d'Euler-Mascheroni

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Introduction

En mathématiques, la constante d'Euler-Mascheroni est une constante mathématique, utilisée principalement en théorie des nombres, définie comme la limite de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel.

Définition

La constante d'Euler-Mascheroni γ est définie comme étant :

$γ = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - ln (n))$ ,

ou, de façon condensée :

$γ = lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - ln (n))$ .

La série harmonique diverge, tout comme la suite de terme général ln(n) ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées.

Propriétés

Propriétés générales

On ignore toujours si la constante d'Euler-Mascheroni est ou non un nombre rationnel. Cependant, l'analyse en fraction continue de la constante indique que si elle est rationnelle, son dénominateur possède plus de 10 chiffres décimaux.

Autres formulations

La constante peut être définie sous la forme explicite d'une série (telle qu'elle fut d'ailleurs introduite par Euler) :

γ = k = 1 \sum \infty [\frac{1}{k} - lo g (1 + \frac{1}{k})] .

Elle est également donnée par plusieurs intégrales :

$γ = \int_{1}^{\infty} (\frac{1}{E ( x )} - \frac{1}{x}) d x$ (où E est la fonction partie entière)

= - \int_{0}^{\infty} e^{- x} lo g x d x

= - \int_{0}^{1} lo g lo g (\frac{1}{x}) d x

= \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{1 - e ^{- x}} - \frac{1}{x}) e^{- x} d x

$= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} (\frac{1}{1 + x} - e^{- x}) d x$ .

D'autres intégrales mettant en scène γ sont :

\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} lo g (x) d x = - 1/4 (γ + 2 lo g 2) π

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} (lo g (x))^{2} d x = γ^{2} + \frac{π ^{2}}{6}$ .

Il est possible d'exprimer γ sous forme d'une intégrale double (avec ici la série équivalente) :

$γ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x - 1}{( 1 - x y ) l o g ( x y )} d x d y = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - lo g (\frac{n + 1}{n}))$ .

Par ailleurs :

$lo g (\frac{4}{π}) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x - 1}{( 1 + x y ) l o g ( x y )} d x d y = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} (\frac{1}{n} - lo g (\frac{n + 1}{n}))$ .

Les deux constantes sont également liées par deux séries :

γ = n = 1 \sum \infty \frac{N _{1} ( n ) + N _{0} ( n )}{2 n ( 2 n + 1 )}

lo g (\frac{4}{π}) = n = 1 \sum \infty \frac{N _{1} ( n ) - N _{0} ( n )}{2 n ( 2 n + 1 )}

où N₁(n) et N₀(n) sont le nombre de 1 et de 0 dans l'écriture de n en base 2.

On trouvera d'autres expressions non classiques de la constante d'Euler dans l'article Mesures secondaires

Relation avec certaines fonctions

La constante d'Euler-Mascheroni possède des liens avec d'autres fonctions particulières :

Fonction gamma :

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{z - 1} d t = \frac{1}{z e ^{γ z} n = 1 \prod \infty ( 1 + z / n ) e ^{- z / n}}

Fonction exponentielle intégrale :

E_{1} (z) = \int_{z}^{\infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t = \int_{1}^{\infty} \frac{e - z t}{t} d t = e^{- z} \int_{0}^{\infty} \frac{e ^{- z t}}{1 + t} d t

= \frac{e ^{- z}}{z} \int_{0}^{\infty} \frac{e - t}{1 + t / z} d t = - l n z - γ + n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1} z ^{n}}{n . n !}

Fonction psi :

Ψ (z) = \frac{Γ ^{'} ( z )}{Γ ( z )} = - γ - \frac{1}{z} + n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}

En particulier, $Ψ (1) = Γ^{'} (1) = - γ$ et $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = Ψ (n + 1) + γ$

Généralisation

Il est possible de généraliser le sujet en définissant les constantes suivantes :

$γ (m) = lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n} \frac{( l n k ) ^{m}}{k} - \frac{( l n n ) ^{m + 1}}{m + 1})$ .

On constate que γ(0) = γ, la constante d'Euler.

Valeur approchée

La 100 premières décimales de la constante d'Euler-Mascheroni sont :

$γ$ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495

Calcul numérique de γ

Le calcul numérique de γ est un moyen pédagogique simple pour se sensibiliser aux problèmes de propagation d'erreur d'arrondi. En simple précision, pour 100 000 points, en sommant dans l'ordre naturel, on obtient une erreur sur la 4ème décimale, erreur beaucoup plus faible si on fait cette somme dans l'ordre inverse (du plus petit au plus grand), ou si on utilise l'algorithme de Kahan (cf. Somme (algorithmique)). Pour 1 000 000 de points, la divergence atteint la 2 décimale dans le sens naturel, et la 4 décimale dans le sens inverse ; par contre, par la méthode de Kahan, on a atteint les 6 décimales exactes.