Demi-plan de Poincaré

Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.

Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.

Géométrie

On considère le demi-plan supérieur :

Métrique

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : a = 1 pour simplifier les équations.

Géodésiques

Les géodésiques sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : x = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses  : y = 0 (en bleu) :

On pourra consulter le site du mathématicien Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques.

Homographies

Les matrices de $G{L}_2^{+}(\mathbb{R})$ agissent sur cet espace, par homographies . Plus précisément, soit g un élément de $G{L}_2^{+}(\mathbb{R})$ :

Son action sur un point z du demi-plan est donnée par :

Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par Hadamard. On sait aujourd'hui que ce flot est, par ordre croissant d'irrégularités :

• ergodique
• mélangeant (« mixing »)
• K-système (Anosov)
• C-système = bernouillien.

Lire aussi : Chaos on the pseudosphere, Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas, Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane.

• Géométrie hyperbolique
• Disque de Poincaré
• Formule des traces de Selberg
• Théorie du chaos
• Théorie ergodique
• Chaos quantique

Ouvrages de mathématiques

Géométrie

• John Stillwell ; Geometry of Surfaces, Universitext, Springer-Verlag (1992), ISBN 0-387-97743-0.
• Birger Iversen ; Hyperbolic Geometry, London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press (1992), ISBN 0-521-43528-5.
• Toshitsune Miyake ; Modular forms, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-50268-8. Attention, ce n'est pas un livre pour débutant !

Chaos

• Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27.
• Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
• Donald S. Ornstein & Benjamin Weiss ; Geodesic flows are Bernouillians, Isreal Journal of Mathematics 14 (1973) 184.
• Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley (1988).

Références pour physiciens théoriciens

• Nandor Balasz & André Voros ; Chaos on the pseudosphere, Physics Report 143 (1986) 109.
• Yves Colin de Verdière ; Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'Été de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.
• Charles Schmit ; Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'Été de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.