Distribution de Lévy

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Distribution de Lévy
Paramètres	$c > 0$
Support	$t \in] 0, + \infty [$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{c}{2 π} \cdot \frac{e ^{- c /2 t}}{t ^{3/2}}$
Fonction de répartition	$erfc \frac{c}{2 t}$
Espérance	$+ \infty$
Médiane (centre)	$c /2 (erf^{- 1} (1/2))^{2}$
Mode	$\frac{c}{3}$
Variance	$+ \infty$
Asymétrie (statistique)	$+ \infty$
Kurtosis (non-normalisé)	$+ \infty$
Entropie	$\frac{1 + 3 γ + l n ( 16 π c ^{2} )}{2}$
Fonction génératrice des moments	non définie
Fonction caractéristique	$e^{- - 2 i c t}$

La distribution de Lévy, nommée d'après le mathématicien Paul Lévy, est une loi de probabilité utilisée en mathématiques et en physique. En spectroscopie, elle porte le nom de profil de Van der Waals et décrit le profil de certaines raies spectrales.

Avec la loi de Cauchy et la loi normale, c'est l'une des trois à être stable par convolution et à posséder une densité de probabilité exprimable analytiquement :

φ (t, c) = \frac{c}{2 π} \cdot \frac{e ^{- c /2 t}}{t ^{3/2}},

pour t > 0, avec c comme paramètre d'échelle. Sa fonction de répartition est

Φ (t, c) = erfc \frac{c}{2 t},

où erfc désigne la fonction d'erreur complémentaire.

La loi de Lévy est un cas particulier de la loi stable aussi appelée loi de Lévy tronquée.