Fonction polygamma

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En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est définie comme la m+1 -ième dérivée logarithmique de la fonction gamma :

ψ^{(m)} (z) = (\frac{d}{d z})^{m} ψ (z) = (\frac{d}{d x})^{m + 1} lo g Γ (z)

Ici,

ψ (z) = ψ^{0} (z) = \frac{Γ ^{'} ( z )}{Γ ( z )}

est la fonction digamma et $Γ (z)$ est la fonction gamma.

Elle possède la relation de récurrence

ψ^{(m)} (z + 1) = ψ^{(m)} (z) + (- 1)^{m} m! z^{- (m + 1)}

Elle est reliée à la fonction Zeta d'Hurwitz

ψ^{(m)} (z) = (- 1)^{m + 1} m! ζ (m + 1, z)

La série de Taylor au point z=1 est

$ψ^{(m)} (z + 1) = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{m + k + 1} (m + k)! ζ (m + k + 1) \frac{z ^{k}}{k !}$ ,

qui converge pour |z|<1. Ici, $ζ (n)$ est la fonction Zeta de Riemann.