Forme trace

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Introduction

En mathématiques la forme trace est un concept associé à la théorie de Galois et à la théorie algébrique des nombres.

Si une extension finie L d'un corps K est considéré comme un espace vectoriel, la forme trace apparaît comme une forme bilinéaire de L.

Dans le cas un anneau d'entiers algébriques, la forme trace possède une propriété remarquable, son déterminant ne dépend pas de la base choisie. Cette propriété permet de définir le discriminant d'un anneau d'entiers.

La forme trace, à travers la notion de discriminant, permet d'établir des démonstrations d'arithmétique comme le caractère fini du groupe des classes d'idéaux ou le théorème des unités de Dirichlet.

Définition et exemple

Définition

Ici K est un corps commutatif, L une extension de dimension finie d, l un élément de L et φ_l l'endomorphisme du K espace vectoriel L qui à x associe l.x.

La trace de L sur K de l'élément l est égal à la trace de l'endomorphisme φ_l. Elle est en général notée Tr_L/K.

Cette définition est à l'origine d'une forme bilinéaire sur L en tant que K espace vectoriel :

La forme trace de L sur K est la forme bilinéaire du K espace vectoriel L, qui à (l₁, l₂) associe la trace de l₁.l₂.

Exemple

L'anneau des entiers de Gauss correspond à l'anneau des entiers de la forme x + i.y ou x et y sont des entiers relatifs et i l'unité imaginaire. Soit a (resp. b) un entier de Gauss égal à α + i.β (resp. γ + iδ), dans la base (1, i ) les matrices M_a M_b et M_ab de φ_a, φ_b et φ_ab sont égales à :

M_{a} = (α - β β α), M_{b} = (γ - δ δ γ) et M_{ab} = (α γ - β δ - α δ - β γ α δ + β γ α γ - β δ)

On en déduit, si Ψ désigne la matrice de la forme trace et discr (O_K) de discriminant de l'anneau :

Tr_{K / Q} (a, b) = 2 α γ - 2 β δ, Ψ = (200 - 2)

Propriétés

Si l'extension L est galoisienne l'égalité suivante est vérifiée :

Tr L / K (l) = \sum i = 1^{d} σ_{i} (l)

Ici la famille (σ₁, σ₂, ..., σ_d) décrit les éléments du groupe de Galois. La trace est égale au coefficient du monôme sous-dominant du polynôme caractéristique χ[X]. Ce polynôme s'exprime comme un multiple du polynôme minimal P[X] de la manière suivante :

χ [X] = i = 1 \prod d (σ_{i} (m) - X) = (- 1)^{n} P^{n} [X]

La démonstration est donnée dans l'article Polynôme minimal d'un nombre algébrique

Par définition, la forme trace prend ses valeurs dans K.

On remarque que la forme trace est symétrique. Elle bénéficie de plus de la propriété suivante :

La forme trace est non dégénérée si et seulement si l'extension L est séparable.

Discriminant d'un anneau

Définition

Dans cette partie, K désigne une extension finie du corps des nombres rationnels. O_K désigne l'anneau de tous les entiers algébriques de K encore appelé fermeture intégrale de Z dans K. Un entier algébrique est un nombre algébrique dont le polynôme minimal (unitaire) est à coefficients dans Z.

On remarque que tout isomorphisme α de O_K, considéré comme un Z module, possède un déterminant inversible dans Z. En effet :

det (α \cdot α^{- 1}) = det (α) . det (α^{- 1}) = 1

Le déterminant d'un isomorphisme est donc égal soit à 1 soit à -1. Le changement de base d'une forme bilinéaire ne modifie pas le déterminant. Ce qui permet d'établir la définition suivante :

Le discriminant d'un anneau de O_K est égal au déterminant de sa forme trace.

Exemple

La connaissance d'une expression matricielle de la forme trace des entiers de Gauss permet un calcul du discriminant :

Ψ = (200 - 2) et discr (O_{K}) = det (Tr_{K / Q}) = - 4

Le discriminant de l'anneau est égal à -4. Il est possible de le calculer autrement, le polynôme X + 1 permet de définir le corps K des rationnels de Gauss. En effet, K est isomorphe au quotient de l'anneau Q[X] des polynômes à coefficients rationnels par l'idéal engendré par X + 1. Le discriminant du polynôme X + 1 est aussi égal au discriminant de l'anneau. Cette propriété est générale.

Le calcul du discriminant d'une fermeture d'un corps quadratique est donnée dans l'article associé dans l'article Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique. Ce cas particulier est plus simple et permet une approche didactique de l'intérêt de ce concept.

Propriétés

Discriminant d'un idéal

La définition précédente s'applique aux sous-anneaux de O_K. La proposition suivante permet de calculer son discriminant :

Le discriminant d'un sous-anneau M de O*_K est donnée par la formule suivante :*

discr (M) = N_{K / Q} (M)^{2} . discr (O_{K})

L'idéal M est un Z module de même dimension que O_K, en conséquence il existe une application linéaire bijective f de O_K en tant que Z module dans M. La démonstration est donnée dans l'article Norme (arithmétique). Soient F la matrice de f dans une base B de O_K, x et y deux vecteurs de M et X et Y leur vecteur colonne dans la base de M, image de B par f. On a l'égalité matricielle :

Tr (x, y) =^{t} (F . X) T (F . Y) =^{t} X (^{t} F . T . F) Y

On en déduit :

discr (M) = det (^{t} F . T . F) = det (F)^{2} . det (T) = N_{K / Q} (M)^{2} . discr (O_{K})

Discriminant et polynôme

Le discriminant d'un anneau O_K possède une définition bien différente de celle d'un discriminant de polynôme à une indéterminée. Les deux définitions sont néanmoins corrélées.

Soit A un sous-anneau de O_K et a un élément générateur de l'anneau, c'est-à-dire que Z[a] la Z algèbre engendrée par a est égale à l'anneau A. Soit P(X) le polynôme minimal de a. La proposition suivante montre la relation entre les deux discriminants :

Le discriminant de A est égal au discriminant du polynôme minimal P*(X) de* a.