Formules de physique

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Introduction

La physique est une science dont une des expressions les plus précises et utiles pour faire des prévisions est le langage mathématique. Des lois physiques traduisent les phénomènes et observation, et souvent leur expression mathématique est courte et explicite ... pour ceux qui maîtrisent cet outil que sont les mathématiques.

Les formules de physique sont des expressions qui montrent les relations entre la matière, l'énergie, le mouvement, et les forces dans ce langage mathématique. La vision des formules multiples sur une page peut permettre de comprendre les relations entre les variables, après un cours de physique de base de niveau secondaire (typiquement proposé aux 16-18 ans).

L'objectif de cette page est de présenter les relations (formules) principales sous forme mathématique autant que verbale, pour que les élèves en aient une meilleure compréhension. La formulation verbale de nombreuses relations doit encore être ajoutée ou précisée.

Signification des symboles

$a$ : accélération

$A$ : surface ou amplitude

$c$ : vitesse de la lumière

$E$ : énergie

$F$ : force

$F_{r es u l t an t e} = \sum F_{i}$ : force résultante

$f_{k}$ : force de frottement cinétique

$f_{s}$ : force de frottement statique

$g$ : accélération de la gravité

$I$ : percussion mécanique

$E_{c}$ : énergie cinétique

$m$ : masse

$μ_{c}$ : coefficient frottement cinétique

$μ_{s}$ : coefficient de frottement statique

$F_{N}$ : force normale à une surface ou un axe

$ν$ : fréquence

$ω$ : vitesse angulaire

$p$ : quantité de mouvement

$P$ : puissance

$Q$ : quantité de chaleur

$r$ : rayon

$s$ : distance parcourue

$T$ : période

$t$ : temps

$θ$ : angle (voir les annotations à côté de chaque formules)

$E_{p}$ : énergie potentielle

$V$ : volume

$V_{df}$ : volume de fluide déplacé

$v_{f}$ : vitesse finale

$v_{i}$ : vitesse initiale

$x_{f}$ : position finale

$x_{i}$ : position initiale

Cinématique du MRUA ou des cas où l'accélération est constante

Les formules de cinématique lient la position d'un objet, sa vitesse, et son accélération, sans tenir compte de sa masse et des forces qui s'exercent sur lui.

$v = (\frac{Δ x}{Δ t})_{Δ t \to 0}$ : la vitesse d'un mobile en un instant est la dérivée de la position x(t) en fonction du temps, c'est-à-dire aussi la pente de la tangente à la courbe x(t) de la position en fonction du temps en cet instant.

$a = (\frac{Δ v}{Δ t})_{Δ t \to 0}$ : l'accélération d'un mobile en un instant est la dérivée de la vitesse v(t) en fonction du temps, c'est-à-dire aussi la pente de la tangente à la courbe v(t) de la vitesse en fonction du temps en cet instant.

$Δ v = a Δ t a v ec Δ v = v_{f} - v_{i} = o u v_{f} = v_{i} + a Δ t$ : la vitesse varie linéairement avec le temps

$Δ x = v_{i} t + \frac{1}{2} a t^{2} a v ec Δ x = x_{f} - x_{i} o u x_{f} = x_{i} + v_{i} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ : l'espace parcouru (ou la position) varie quadratiquement (comme une parabole) avec le temps

d'où l'on peut déduire aussi les relations

x_{f} = x_{i} + v_{i} t + \frac{1}{2} a t^{2}

x_{f} = x_{i} + \frac{( v _{i} + v _{f} )}{2} t

v_{f}^{2} = v_{i}^{2} + 2 a (x_{f} - x_{i}) = v_{i}^{2} + 2 a Δ x

Dynamique

Comme la cinématique, la dynamique concerné le mouvement mais cette fois en prenant en compte la force et la masse des objets.

${\vec{F}_{resultante}} = m . \vec{a}\,\$ : une force agissant sur un mobile communique à celui-ci une accélération inversément proportionnelle à sa masse. C'est la seconde loi de Newton

$F_{N} = m g cos θ$ ( $θ$ est l'angle entre la surface de support et la verticale) : la force normale (perpendiculaire) exercée par une surface faisant un angle $θ$ avec l'horizontale, sur un corps est la projection de son poids sur cette direction perpendiculaire

$F_c = {\mu_c} F_N\,\$ : la force de frottement cinétique, qui apparaît lorsque le point de contact entre l'object est en mouvement l'une par rapport au support, est proportionnelle à la force avec laquelle le support agit sur l'objet.

$F_s = {\mu_s} \vec{F}_N\,\$ : la force de frottement statique, qui apparaît lorsque le point de contact entre l'object est immobile l'une par rapport au support, est proportionnelle à la force avec laquelle le support agit sur l'objet. Cette dernière est presque toujours plus grande que la force de frottement cinétique (donc μ_s > μ_c)

Travail, énergie, et puissance

Le travail, l'énergie et la puissance décrivent la manière dont les objets affectent la nature.

$W = \int F \cdot d s$ -- définition du travail mécanique, en toute généralité et en particulier si la force change le long du déplacement. Si la force est constante (en direction, sens et norme) sur tout le déplacement, cette relation devient simplement : : $W = F \cdot Δ x$

$W = Δ E_{c}$ : une expression du théorème de l'énergie cinétique

$W = - Δ E_{p}$ : une définition de l'énergie potentielle

$E_{p} = m g h$ : l'énergie potentielle par rapport à une hauteur repère h est donnée par le produit du poids et de la hauteur h.

$E_{m} = E_{c} + E_{p}$ : l'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle

$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ : définition de l'énergie cinétique d'un corps (formule appliquée à des exemples simples, ce n'est en rien une formule générale)

P = \frac{d E}{d t} = \int F \cdot v

P_{m oy} = \frac{Δ E}{Δ t}

Mouvement harmonique simple et pendule simple

$F = - k Δ x$ : la force exercée sur un corps par un ressort est proportionnelle à l'allongement de celui-ci par rapport à sa position d'équilibre, et est orientée dans le sens opposé à cet allongement. C'est une force de rappel. k est la raideur du ressort) d'après la loi de Hooke

$T_{r essor t} = 2 π \frac{m}{k}$ : la période d'une masse m accrochée à une ressort de rigidité k est proportionnelle à la racine du rapport de la masse et de cette rigidité

ν = \frac{1}{T}

ω = 2 π \frac{1}{T} = 2 π ν = \frac{k}{m}

E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}

v_{ma x r essor t} = x \frac{k}{m}

$T_{p e n d u l e} = 2 π \frac{L}{g}$ (pour un pendule simple)

Quantité de mouvement

La quantité de mouvement est la grandeur associée à la vitesse d'une masse, en mécanique classique.

$p = m v$ -- définition : la quantité de mouvement d'un corps est le produit de sa masse par sa vitesse.

$I = \int F d t$ -- définition : l' impulsion ou percussion mécanique reçue par un corps est, si la force exercée sur celui-ci est constante dans le temps, le produit de la force et du temps.

$Δ p = I$ : la variation de quantité de mouvement d'un corps durant un certain temps Δt est donnée par l' impulsion ou percussion mécanique communiquée à ce corps

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ : dans un système pour lequel l'impulsion communiquée à un corps est nulle, la quantité de mouvement ne change pas. Ceci est une expression de la conservation de la quantité de mouvement

$\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{'2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{'2}$ (Note: ceci n'est valable que pour les collisions élastiques)

Mouvement circulaire uniforme et gravitation

Un objet, par exemple un satellite autour d'une planète ou une planète autour du soleil, se déplace sur une circonférence à vitesse dont la grandeur est constante.

Dans cette section, a_c et F_c réprésentent respectivement l'accélération centripète et la force centripète.

a_{c} = \frac{v ^{2}}{r} = \frac{4 π ^{2} r}{t ^{2}}

F_{c} = \frac{m v ^{2}}{r}

$F_{g} = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$ où r est la distance entre les centres des masses : loi de la gravitation universelle

a_{g r a v i t e} = G \frac{m _{pl an e t e}}{r ^{2}}

v_{s a t e l l i t e} = \frac{G m _{pl an e t e}}{R}

E_{p}^{g r a v i t a t i o nn e l l e} = G \frac{m _{1} m _{2}}{r}

E_{c}^{s a t e l l i t e} = G \frac{m _{so l e i l} m _{pl an e t e}}{2 R}

E_{c}^{s a t e l l i t e} = - G \frac{m _{so l e i l} m _{pl an e t e}}{2 R}

$\frac{T _{1}^{2}}{a _{1}^{3}} = \frac{T _{2}^{2}}{a _{2}^{3}}$ exprime une des lois de Kepler

Thermodynamique

La thermodynamique concerne les liens macroscopiques entre énergie, mouvement et entropie des particules microscopiques.

Q = m c Δ T

Δ L = L_{i} α Δ T

Δ V = V_{i} γ Δ T

$P V = n R T$ est la loi des gaz parfaits

$\frac{P _{i} V _{i}}{T _{i}} = \frac{P _{f} V _{f}}{T _{f}}$ est la loi de Dalton

Δ E_{p} = Δ Q + Δ T

e = 1 - \frac{Δ Q _{o u t}}{Δ Q _{in}}

Mouvement circulaire

$τ = r F sin θ$ : le couple $τ$ associé à une force par rapport à un axe est égal au produit de la force par la distance à l'axe.

ω = \frac{Δ θ}{Δ t}

α = \frac{Δ ω}{Δ t}

$v_{t an} = r ω$ : la vitesse tangentielle est le produit de la vitesse angulaire par le rayon de la trajectoire

a_{t an} = r α

a_{r a d} = ω^{2} r

$ω = ω_{0} + α t$ (accélération circulaire constante )

$θ = ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}$ (accélération circulaire constante)

$ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α θ$ (accélération circulaire constante )

$ω_{m oy} = \frac{ω + ω _{0}}{2}$ (accélération circulaire constante )

\sum τ = I α

E_{c} = \frac{1}{2} M v_{C M}^{2} + \frac{1}{2} I_{C M} ω^{2}

L = I ω

\sum τ = \frac{Δ L}{Δ t}

Mécanique des fluides

$F_{A r c him e d e} = ρ_{f l u i d e} g V_{imm er g \overset{e}{ˊ}}$ est le principe d'Archimède : tout corps dont le volume immergé $V_{imm er g \overset{e}{ˊ}}$ dans un fluide de masse spécifique ρ_fluid**e subit une force verticale de bas en haut égale au poids en fluide du volume immergé. Cette force s'applique au centre de masse du fluide. C'est la résultante de toutes les forces de pression exercées sur le corps. Ce fluide peut être un liquide ou un gaz.

p = p_{a t m os p h er i q u e} + ρ g h

p = \frac{F}{a}

Q = A v