Fraction continue d'un nombre quadratique

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Introduction

Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des nombres quadratiques.

En mathématiques et plus précisément en arithmétique la fraction continue d'un nombre quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme suivante :

a_{0} + \frac{1}{a _{1} + \frac{1}{a _{2} + \frac{1}{a _{3} + \dots}}}, \forall i \in N a_{i} \in N

Si le nombre représenté est quadratique, c'est-à-dire s'il n'est pas rationnel mais solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d'entiers (a_n) est périodique à partir d'un certain rang.

L'intérêt de l'étude de la fraction continue d'un nombre quadratique ne se résume pas à cette anecdote. La simplicité de l'algorithme permettant de déterminer les coefficients de la fraction en ont fait pendant longtemps une méthode d'extraction de racine. La connaissance de la fraction continue permet aussi de résoudre une célèbre équation diophantienne, c'est-à-dire une équation dont les coefficients et les solutions recherchées sont des nombres entiers. Cette équation porte le nom de Pell-Fermat et prend la forme suivante, si n est un entier sans facteur carré.

x^{2} - n \cdot y^{2} = \pm 1

Préambule

Introduction par l'exemple

Le calcul de la fraction continue d'un nombre quadratique est relativement aisée, l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a - b est utilisée à chaque étape. L'exemple suivant en est une illustration :

13 = 3 + (- 3 + 13) = 3 + \frac{( 1 3 - 3 ) ( 1 3 + 3 )}{1 3 + 3} = 3 + \frac{4}{3 + 1 3} = 3 + \frac{1}{\frac{1 3 + 3}{4}}

a_{0} = 3, x_{1} = \frac{1 3 + 3}{4} .

Il est possible d'appliquer à nouveau le même algorithme sur x₁ :

\frac{1 3 + 3}{4} = 1 + \frac{1 3 - 1}{4} = 1 + \frac{1}{\frac{1 3 + 1}{3}} donc 13 = 3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{1 3 + 1}{3}}}

a_{1} = 1, x_{2} = \frac{1 3 + 1}{3}

Puis sur x₂ :

\frac{1 3 + 1}{3} = 1 + \frac{1}{\frac{1 3 + 2}{3}} donc 13 = 3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{1 3 + 2}{3}}}} et a_{2} = 1, x_{3} = \frac{1 3 + 2}{3}

Avec, ensuite :

\frac{1 3 + 2}{3} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{\frac{1 3 + 3}{4}}}} et a_{3} = 1, a_{4} = 1, a_{5} = 6, x_{5} = \frac{1 3 + 3}{4}

Le vocabulaire et les notations utilisés ici sont ceux définis dans l'article Fraction continue. Le coefficient d'indice n de la fraction continue correspond au coefficient a_n utilisé dans l'introduction. La réduite d'indice n désigne la fraction continue tronquée contenant n barres de fraction et construite à l'aide de n + 1 coefficients, elle est notée h_n / kn. Le quotient complet est la valeur, noté x_n tel que si l'on remplace a_n-1 par a_n-1 + 1/ x_n dans l'expression de la réduite d'indice n - 1, on obtient exactement le nombre initial. Le quotient complet x₀ est la valeur initiale, √13 dans l'exemple choisi.

Le coefficient a_n correspond à la partie entière du quotient complet x_n et le quotient complet x_n+1 à l'inverse de la partie fractionnaire de x_n. Pour résumer, on obtient :

13 = 3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \dots}}}}} e t \frac{h _{0}}{k _{0}} = \frac{3}{1}, \frac{h _{1}}{k _{1}} = \frac{4}{1}, \frac{h _{2}}{k _{2}} = \frac{7}{2}, \frac{h _{3}}{k _{3}} = \frac{11}{3}, \frac{h _{4}}{k _{4}} = \frac{18}{5}, \frac{h _{5}}{k _{5}} = \frac{119}{33}

Cette notation étant un peu lourde, on utilise de préférence la suivante, ayant la même signification :

Enfin, que le quotient incomplet x₅ est égal à x₁, ce qui permet de conclure que la suite des coefficients se répète à partir du rang 1. On parle de suite périodique à partir d'un certain rang et on utilise la notation :

13 = [3, \overline{1, 1, 1, 1, 6}]

La barre utilisée ici est d'un usage fréquent dans la littérature. Elle signifie une répétition à l'infini de la suite d'entiers couverte par la barre.

Eléments d'histoire

Dès le VI siècle, Âryabhata , un mathématicien indien, utilise les fractions continues pour obtenir des rationnels proches de racines carrés. Si Brahmagupta un autre mathématicien indien s'intéresse à l'équation de Pell-Fermat et améliore la méthode dite chakravala pour la résoudre, il faut attendre le XII siècle et Bhāskara II pour voir une approche analogue à celles des fractions continues appliquées à cette équation. Son algorithme correspond à celui de l'article à la différence que a₀ est défini comme la plus proche valeur entière du nombre à approcher et non celle toujours inférieure. Cette différence est reportée à tous les coefficients a_n qui peuvent devenir négatifs. Cette spécificité, accélère un peu la recherche de la solution.

Ce n'est que plus tard que l'Europe s'intéresse à une démarche de cette nature. Il faut attendre le XVI siècle pour que Rafael Bombelli fasse usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13. Pietro Antonio Cataldi comprend la portée de la méthode de Bombelli et l'applique à toutes les racines carrées, dans un petit opuscule à ce sujet, il choisit l'exemple de la valeur 18.

A la suite d'un défi lancé par Pierre de Fermat en 1657, William Brouncker , trouve de manière empirique les relations qui relient la fraction continue d'un nombre quadratique à l'équation de Pell-Fermat. Il est probable que Bernard Frénicle de Bessy connaissait aussi cette méthode pour résoudre l'équation de Pell-Fermat dont il trouve toutes les solutions pour n plus petit que 150, ces travaux ont été perdus. Il défie Brouncker de trouver une solution à l'équation pour n = 313. Dans sa réponse, il indique qu'il ne lui a pas fallu plus d'une heure ou deux pour la trouver. La réponse est la suivante, pas nécessairement immédiate à calculer manuellement :

x = 32188120829134849 et y = 1819380158564160

Ces informations proviennent d'une intense relation épistolaire entre les différents acteurs, qui est finalement publié par John Wallis

Le siècle suivant est celui des preuves. Leonhard Euler reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, et démontre rigoureusement tous les aspects un peu élémentaires de la théorie, il montre aussi si la représentation en fraction continue d'un nombre est périodique, à partir d'un certain rang, alors ce nombre est quadratique. Il faut encore attendre les travaux de Joseph-Louis Lagrange pour la démonstration d'une réciproque ainsi que des raisons de la validité de la méthode Bhāskara II ou de celle de Brouncker. Les propriétés de la fraction continue d'un nombre quadratique sont alors essentiellement élucidées, il ne reste plus qu'à comprendre dans quel cas une fraction continue n'est pas simplement périodique à partir d'un certain rang, mais périodique pure, ce qui est l'œuvre d'Evariste Galois .

Première propriété

Le calcul pratique d'une fraction continue d'un nombre quadratique est simple. Une est raison est une conséquence de la propriété :

Les quotients complets d'un nombre quadratique sont quadratiques.

Une manière de caractériser un nombre quadratique x est de trouver une racine √d d'un entier sans carré parfait et deux rationnels a et b tel que x soit égal à a + b.√d. Cette condition est nécessaire et suffisante. L'aspect nécessaire se déduit de la méthode de résolution d'une équation du second degré à l'aide du discriminant. Réciproquement, on peut remarquer que x est solution de l'équation, s'il est quadratique :

x^{2} + 2 a x + a^{2} - d b^{2} = 0

Si, dans sa décomposition en facteurs premiers d ne contient que des puissances paires, le nombre d est rationnel et x n'est pas quadratique mais rationnel, s'il en contient quelques uns, il est toujours possible de les extraire de la racine carrée et adjoindre ces facteurs au rationnel b.

La propriété énoncée se démontre par récurrence. À l'ordre 1, le quotient complet est la différence d'un entier et d'un nombre quadratique, il est donc quadratique. Supposons la propriété vraie à l'ordre n et montrons là à l'ordre suivant. x_n est un nombre quadratique, en conséquence a_n+1 - x_n est aussi un nombre quadratique. Notons le a + b.√d, la transformation suivante montre que (a + b.√d), égal au quotient complet d'indice n + 1 est aussi quadratique :

\frac{1}{a + b d} = \frac{a - b d}{( a + b d ) ( a - b d )} = \frac{a}{a ^{2} - d b ^{2}} + \frac{a}{a ^{2} - d b ^{2}} \cdot d

On remarque l'expression au dénominateur ne peut être nulle. Si elle l'était, la racine de d serait un rationnel et d ne pourrait être un entier sans facteur carré. Cette première propriété simplifie la recherche de l'expression d'un nombre quadratique sous forme de fraction continue, le calcul de l'inverse d'un nombre quadratique est simple. L'usage de l'identité remarquable : (a + b)(a - b) = a - b est en conséquence fréquente.

Période

Une autre propriété simplifie la détermination d'un nombre quadratique sous forme de fraction continue :

Un irrationnel x possède un développement en fraction continue périodique à partir d'un certain rang si et seulement si x est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels.

Si le développement de x est périodique à partir du rang p alors il existe un entier n tel que l'égalité suivante soit vérifiée. Ce qui justifie la notation, déjà utilisée dans le préambule :

x = [a_{0}, a_{1}, \dots, a_{p - 1}, a_{p}, \dots a_{n}, a_{p}, a_{p + 1} \dots] = [a_{0}, a_{1}, \dots, a_{p - 1}, \overline{a_{p}, a_{p + 1}, \dots a_{n}}]

Cette proposition est au cœur de l'intérêt de la notion de fraction continue pour les nombres quadratiques. Autant il est relativement simple de montrer qu'un nombre ayant une fraction continue périodique à partir d'un certain rang est nécessairement quadratique, autant la réciproque est un peu plus délicate. Sa preuve date de plus d'un siècle après la découverte de cette propriété et est l'œuvre de Lagrange. La démonstration présentée ici est relativement proche de l'originale.

Palindrome

Il est possible d'aller un peu plus loin sur les propriétés de la fraction continue d'un nombre quadratique. Certains nombres possèdent un développement purement périodique. c'est le cas, par exemple, du nombre d'or. En effet, un rapide calcul montre, si φ désigne le nombre d'or :

φ = 1 + \frac{1}{φ} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{φ}} = \dots et φ = [1, 1, 1, \dots] = [\overline{1}]

La question se pose de savoir dans quel cas le développement en fraction continue est périodique pur, c'est-à-dire quelle condition rend le développement périodique dès le premier terme. Le nombre x est nécessairement un nombre quadratique. La réponse s'exprime en fonction de x_c, l'autre racine du polynôme annulant x. Le nombre x_c est souvent appelé conjugué de x, par analogie avec la situation où les racines sont complexes. Cette démonstration est l'œuvre d'Evariste Galois.

Le développement de x est purement périodique si et seulement si x est strictement plus grand que 1 et x*_c, le conjugué de* x est compris entre -1 et 0.

Cette propriété permet d'obtenir une description plus précise du développement en fraction continue d'une racine d'un entier non carré parfait :

Si x est la racine carrée d'un entier sans facteur carré, sa fraction continue prend la forme suivante :

x = [a_{0}, \overline{a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots a_{3}, a_{2}, a_{1}, 2 a_{0}}]

Si l'on élimine le dernier terme 2a₀ la période est symétrique et forme un palindrome. La partie symétrique pouvant ou non avoir un terme médian.

Les démonstrations utilisent les techniques de l'arithmétique. Il en existe de plusieurs natures. Les plus simples sont présentées dans l'article Méthode chakravala. Elles se fondent sur les propriétés d'un anneau d'entiers quadratiques. La démonstration historique, présentée ici, utilise d'autres techniques liées aux propriétés des formes quadratiques à coefficients entiers.

Equation de Pell-Fermat

Structure de la solution

La fraction continue est une technique à la fois théorique et pratique pour résoudre l'équation de Pell-Fermat suivante, si p est un entier sans facteur carré :

(1) x^{2} - p \cdot y^{2} = \pm 1

Une solution est un couple (a, b) d'entiers tel que a - p.b soit égal à plus ou moins un. Pour plus de simplicité dans les énoncées, ne sont considérées que les solutions dont les deux valeurs sont strictement positives. À part les solutions triviales (1, 0) et (-1, 0) toutes les autres se déduisent par multiplication ou non des deux termes a et b par -1. Trois propositions permettent de comprendre comment se structurent les solutions.

Si (a, b) est un couple solution de l'équation (1), il existe un indice n tel que (h_n, k_n) soit égal au couple solution. Ici h*_n et* k*_n désigne le numérateur et le dénominateur de la réduite de rang* n de la valeur √p.

Autrement dit, toutes les solutions de l'équation se trouvent dans la suite des réduites de la fraction continue de √p.

Pour aller plus loin, il est nécessaire d'analyser la fraction continue de √p. Elle est de la forme, d'après le paragraphe précédent :

p = [a_{0}, \overline{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2}, a_{1}, 2 a_{0}}]

Notons k l'indice du coefficient a₁ qui se situe juste avant le coefficient 2a₀, c'est-à-dire celui en rouge dans l'expression précédente. Cela signifie que la période de la fraction continue est égale à k + 1.

Un indice n correspond à une solution de l'équation (1) si, et seulement si, soit n est égal à k, soit il existe un entier positif q tel que n = k + q.(k + 1).

Ce qui signifie que les indices solutions sont ceux qui correspondent aux coefficients de valeur égale à a₁, qui se situe exactement avant le coefficient de valeur égale à 2.a₀. Il en existe exactement un par période.

Si k est pair, il existe des solutions pour la valeur -1, elles correspondent aux indices k et k + 2q.(k + 1), les autres indices donne la valeur 1. Si k est impair, la valeur -1 n'est jamais atteinte.

Une autre manière d'énoncer cette proposition est de dire que la valeur -1 est atteinte si, et seulement si, la période est impaire, elle est alors atteinte une fois sur deux et la première solution est négative.

Groupe des unités

En théorie algébrique des nombres, il est parfois important de connaître la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers algébriques. Cette situation se produit en particulier pour les anneau d'entiers quadratiques. La compréhension de cette structure est utile, par exemple, de démontrer le dernier théorème de Fermat pour n = 3 ou 5, ou pour établir la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci (cf Entier du corps quadratique Q[√5]).

On est amené à trouver les éléments inversible de l'anneau Z[ω] qui sont de la forme a + b.ω ou ω est un entier quadratique et a et b des éléments de Z. On montre que cela revient à résoudre une des deux équations diophantienne suivante, ou d est un entier positif non carré parfait et f un entier positif tel que 4.f + 1 n'est pas un carré parfait :

(1) x^{2} + d y^{2} = \pm 1 (2) x^{2} + x y - f y^{2} = \pm 1

La première a déjà été étudiée, la deuxième est très similaire. On dispose par exemple de la propriété suivante :

Si le couple (a, b) est solution de l'équation (2), alors a / b est une réduite de l'entier quadratique -ω_c défini par :

ω = \frac{1}{2} (1 + 4 f + 1) et - ω_{c} = \frac{1}{2} (4 f + 1 - 1)

La notation un peu étrange de -ω_c pour indiquer l'entier quadratique approché provient du fait que ω est l'entier quadratique qui définit l'anneau Z[ω], ici le signe c en indice indique la valeur conjuguée. L'origine de ces formules est indiquée dans l'article entier quadratique.

Un calcul strictement analogue montre que l'avant dernier terme de la période de la fraction continue correspond aussi à la réduite recherchée.

Extraction d'une racine carrée

Première méthode

Les propriétés de la fraction continue d'un nombre quadratique permettent de calculer des approximations des racines carrées. La première technique consiste simplement à calculer les coefficients de la fraction continue puis ses réduites. Si l'on cherche la racine de 3, on trouve dans un premier temps :

3 = 1 + (3 - 1) = 1 + \frac{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )}{3 + 1} = 1 + \frac{1}{\frac{3 + 1}{2}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{3 - 1}{2}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + 1}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + 3 - 1}}

Le quotient complet (√3 - 1) égal à 1/2.(√3 + 1) a déjà été développé en fraction continue, on en déduit l'expression :

3 = [1, 1, 2, 1, 2, \dots] = [1, \overline{1, 2}]

Les réduites se calculent par des formules de récurrences, étudiées dans l'article Fraction continue. Si h_n / k_n sont ces réduites :

h_{n + 2} = a_{n + 2} h_{n + 1} + h_{n} et k_{n + 2} = a_{n + 2} k_{n + 1} + k_{n}

Ce qui donne les approximations suivantes de la racine de trois :

h_{0} = 1, h_{1} = 2, h_{2} = 2 \times 2 + 1 = 5, h_{3} = 1 \times 5 + 2 = 7, h_{4} = 19, h_{5} = 26, \dots h_{10} = 989 k_{0} = 1, k_{1} = 1, k_{2} = 2 \times 1 + 1 = 3, k_{3} = 1 \times 3 + 1 = 4, k_{4} = 11, k_{5} = 15, \dots k_{10} = 571

Ainsi, à la 10 étape, on obtient la fraction 989 / 571, approximativement égale à 1,732 049 alors que les 7 premiers chiffres significatifs exacts sont 1,732 051. La précision de cet algorithme à l'étape n est meilleure que 1/(2k_n) d'après les calculs précédents. Pour l'approximation d'indice 10, on sait donc que l'erreur est inférieure à 1/(2x571) meilleure que le 600 000. Une force de cet algorithme est la qualité des solutions proposées, au sens où toute fraction de type a/b avec b strictement inférieur à 571 sera nécessairement moins bonne que la dixième réduite de la fraction continue. Par exemple, la meilleure approximation décimale de la racine de trois avec deux chiffres significatif, égale à 17/10, commet une erreur supérieur au 50. Celle un peu équivalente 19/11 correspondant à la réduite d'indice 4 propose une approximation au 200, soit quatre fois meilleure. Cette propriété est démontrée dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne.

Accélération violente

L'étude de l'équation de Pell-Fermat permet d'imaginer un algorithme dont la convergence est beaucoup plus rapide. Étudions le cas général. La réduite d'indice n est solution de l'équation de Pell-Fermat suivante si n + 1 est la période de la fraction continue associée à la racine de d, un entier non carré parfait :

x^{2} - d y^{2} = \pm 1

L'égalité suivante montre, qu'à partir une solution (h_n, k_n), il est possible d'en construire une nouvelle, en considérant le carré de l'équation :

(h_{n}^{2} - d k_{n}^{2})^{2} = 1 = (h_{n} - d k_{n})^{2} (h_{n} + d k_{n})^{2} = (h_{n}^{2} + d k_{n}^{2} - d \cdot 2 h_{n} k_{n}) (h_{n}^{2} + d k_{n}^{2} + d \cdot 2 h_{n} k_{n})

En appliquant à nouveau l'identité remarquable traitant de (a - b)(a + b), on obtient :

(h_{n}^{2} + d k_{n}^{2})^{2} - d (2 h_{n} k_{n})^{2} = 1

Si l'on note u_j et v_j le numérateur et le dénominateur de cette suite, elle est définie par récurrence :

u_{1} = h_{n}, u_{j + 1} = u_{j}^{2} + d v_{j}^{2} et v_{1} = k_{n}, v_{j + 1} = 2 u_{j} v_{j}

L'application au cas de la racine de 3 donne pour première valeur 2/1, en effet, 2 - 3 x 1 = 1 est bien la première solution non triviale, on trouve ensuite :

u_{1} = 2, u_{2} = 2^{2} + 3 \times 1^{2} = 7, u_{3} = 7^{2} + 3 \times 4^{2} = 97, u_{4} = 9 7^{2} + 3 \times 5 6^{2} = 18817, u_{5} = 708158977 v_{1} = 1, v_{2} = 2 \times 2 \times 1 = 4, v_{3} = 2 \times 7 \times 4 = 56, v_{4} = 2 \times 97 \times 56 = 10864, v_{5} = 408855776

Il n'existe peu d'applications nécessitant d'aller au-delà de l'étape 5, la précision de u₅ / v₅ dépasse déjà 20 décimales. Tous ces couples de numérateurs et dénominateurs sont des solutions de l'équation de Pell-Fermat, la théorie indique que ce sont des réduites de la fraction continue de la valeur recherchée, ici la racine de trois. En conséquence, la précision est toujours meilleure que l'inverse du double du carré du dénominateur.

Un exemple historique de résolution de l'équation de Pell Fermat

L'équation suivante possède une longue histoire :

x^{2} - 61 \cdot y^{2} = 1

Brahmagupta l'utilise comme illustration d'un ancêtre de la méthode chakravala dès le VI siècle. À cette époque, les nombres négatifs n'étaient pas considérés. Il est repris par Bhāskara II qui perfectionne la méthode et lui donne une puissance algorithmique un peu supérieure à celle par les fractions continues, présenté ici.

Le 3 janvier 1658, l'exemple est encore repris par Pierre de Fermat, qui en fait un défi lancé aux mathématiciens de toute l'Europe. Fermat conclut par « si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la Narbonnaise ». Ce défi est à l'origine des travaux anglais sur les fractions continues des nombres quadratiques et leur connexion avec l'équation de Pell Fermat.

Appliquons l'algorithme des fractions continues pour calculer les coefficients et les quotients complets :

61 = 7 + \frac{1}{\frac{7 + 6 1}{12}}, \frac{7 + 6 1}{12} = 1 + \frac{1}{\frac{5 + 6 1}{3}}, \frac{5 + 6 1}{3} = 4 + \frac{1}{\frac{7 + 6 1}{4}}, \frac{7 + 6 1}{4} = 3 + \frac{1}{\frac{5 + 6 1}{9}}

Ce qui donne les premiers coefficients : 7, 1, 4, 3. On continue avec :

\frac{5 + 6 1}{9} = 1 + \frac{1}{\frac{4 + 6 1}{5}}, \frac{4 + 6 1}{5} = 2 + \frac{1}{\frac{6 + 6 1}{5}}

On dispose maintenant de la section commençante 7, 1, 4, 3, 1, 2. Il n'est plus nécessaire de continuer. On remarque que les quotients complets x₅ et x₆ sont associés ce qui se remarque au fait qu'ils ont le même dénominateur. La moitié du palindrome est déjà explicitée. Comme ce phénomène se produit pour deux indices adjacents, on peut en déduire que la période est impaire et égale à 2 x 5 + 1. On peut aussi en déduire que a₆ est égal à a₅, ainsi que les termes suivants : 2, 1, 3, 4, 1. Enfin, le dernier terme est égal au double du premier, soit 14. Le premier candidat à la solution est donc celui mise en valeur en rouge dans l'expression suivante :

61 = [7, \overline{1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14}]

On sait que la fraction réduite d'indice 10, appliquée à l'équation du paragraphe donne 1 en valeur absolue. Pour la calculer, le plus simple est de commencer par utiliser les relations de récurrences (cf l'article Fraction continue). Si h_n / k_n désigne la réduite d'indice n et a_n le coefficient d'indice n, on dispose des formules :

h_{n + 2} = a_{n + 2} h_{n + 1} + h_{n} et h_{n + 2} = a_{n + 2} h_{n + 1} + h_{n}

En remarquant que la première et la deuxième réduite sont égales à 7/1 et 8/1, on obtient :

h_{2} = 4 \times 8 + 7 = 39, h_{3} = 3 \times 39 + 7 = 125, h_{4} = 164, h_{5} = 453, h_{6} = 1070, \dots h_{10} = 29718 h_{2} = 4 \times 1 + 1 = 5, k_{3} = 3 \times 5 + 1 = 16, k_{4} = 21, k_{5} = 58, k_{6} = 137, \dots k_{10} = 3805

Cependant, comme l'indice de la réduite calculée est pair, la solution associée à l'équation du paragraphe est de signe est négatif, ce qui se vérifie aisément :

2971 8^{2} - 61 \times 380 5^{2} = 883159524 - 883159525 = - 1

Ni Brahmagupta, ni Fermat n'acceptent ce type de solution. La bonne réduite est donc la 21. Pour la calculer, on peut soit prolonger le calcul, soit utiliser le même principe que celui de la deuxième méthode d'extraction d'une racine :

(h_{10}^{2} + 61 \cdot k_{10}^{2})^{2} - 61 \cdot (2 h_{10} k_{10})^{2} = 1

L'article équation de Pell-Fermat montre que cette formule donne exactement la solution associée à la 21 réduite de la fraction continue. La solution du défi de Fermat est :

h_{21} = 1766319049, k_{21} = 226153980 et 176631904 9^{2} - 61 \times 22615398 0^{2} = 1