Groupe général linéaire

En mathématiques, le groupe général linéaire de degré n d’un corps K est le groupe des matrices n×n inversibles à coefficients dans K, muni de la multiplication matricielle. On le note GL_n(K), ou GL_n (ici GL(n,K)). Ces groupes sont importants dans la théorie des représentations de groupes et apparaissent lors de l’étude des symétries et des polynômes.

GL(n, K) et ses sous-groupes sont souvent appelés « groupes linéaires » ou « groupes matriciels ». Le groupe spécial linéaire, noté SL(n,K) et constitué des matrices de déterminant 1, est un sous-groupe de GL(n,K).

Si n ≥ 2, GL(n, K) n’est pas abélien.

d’un espace vectoriel

Si E est un espace vectoriel sur le corps K, on appelle groupe général linéaire de E et on note GL(E) ou Aut(E), le groupe des automorphismes de E muni de la composition des fonctions.

Si E est de dimension n, alors GL(E) et GL(n,K) sont isomorphes. Cet isomorphisme n’est pas canonique et dépend du choix d’une base de E. Une fois cette base choisie, tout automorphisme de E peut être représenté par une matrice n×n inversible qui détermine l’isomorphisme.

Sur les réels et les complexes

Si le corps K est $\mathbb{R}$ (les nombres réels) ou $\mathbb{C}$ (les nombres complexes), alors GL(n) est un groupe de Lie réel ou complexe de dimension n. En effet, GL(n) est constitué des matrices de déterminant non-nul. Le déterminant étant un application continue (et même polynômiale), GL(n) est un sous-ensemble ouvert non-vide de la variété des matrices n×n, de dimension n.

L’algèbre de Lie associée à GL(n) est formée par les matrices n×n réelles ou complexes.

Si GL(n,$\mathbb{C}$) est connexe, GL(n,$\mathbb{R}$) possède deux composantes connexes : les matrices de déterminant positif et celles de déterminant négatif. Les matrices n×n réelles de déterminant positif forment un sous-groupe de GL(n,$\mathbb{R}$), noté GL(n,$\mathbb{R}$). Ce dernier est également un groupe de Lie de dimension n et possède la même algèbre de Lie que GL(n,$\mathbb{R}$). Il est simplement connexe.

Sur les corps finis

Si K est un corps fini de q éléments, alors on écrit parfois GL(n, q) à la place de GL(n, K). C'est un groupe fini de (q - 1)(q - q)(q - q) … (q - q) éléments (ce qui peut être prouvé en comptant le nombre de colonnes possibles de la matrice : la première colonne peut être n’importe laquelle, mise à part la colonne nulle, la deuxième n’importe laquelle, sauf les multiples de la première, etc.)

Groupe spécial linéaire

Le groupe spécial linéaire d’ordre n sur un corps K, noté SL(n,K), est le groupe des matrices de déterminant 1. C'est est un sous-groupe distingué de GL(n,K).

Si on considère K le groupe multiplicatif des éléments inversibles de K, le déterminant est un homomorphisme de groupe :

det: GL(n,K) $\to$ K

Le noyau de cette application est le groupe spécial linéaire. d’après le premier théorème d’isomorphisme, GL(n,K)/SL(n,K) est isomorphe à K. En fait, GL(n,K) est un produit semi-direct de SL(n,K) par K :

GL(n, K) = SL(n, K) ⋊ K

Lorsque K est $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, SL(n) est le sous-groupe de Lie de GL(n) de dimension n-1. L’algèbre de Lie de SL(n) est formée des matrices n×n à coefficients réels ou complexes de trace nulle.

Le groupe spécial linéaire SL(n,$\mathbb{R}$) peut être vu comme le groupe des transformations linéaires de ${\mathbb{R}}^n$ préservant le volume et l’orientation. Il est engendré par les transvections.

Groupe projectif linéaire

Le groupe projectif linéaire d’un espace vectoriel E sur un corps K est le groupe quotient GL(E)/Z(E), où Z("E") est le centre de GL("E"), c'est-à-dire formé des matrices scalaires non nulles. Les notations PGL(E), PSL(E), etc. sont analogues à celles utilisées pour le groupe général linéaire.

Cette dénomination vient de la géométrie projective, où le groupe projectif agissant sur les coordonnées homogènes (x₀:x₁: … :x_n) est le groupe sous-jacent de cette géométrie (en conséquence, le groupe PGL(n+1,K) agit sur l'espace projectif de dimension n). Le groupe projectif linéaire généralise donc le groupe PGL(2) des transformations de Möbius, parfois appelé le groupe de Möbius.

Le groupe projectif spécial linéaire PSL(n,F_q) d’un corps fini F_q est parfois noté L_n(q). Ce sont des groupes simples finis quand n est au moins égal à 2, sauf L₂(2) et L₂(3).

Diagonaux

L’ensemble des matrices diagonales de déterminant non nul forme un sous-groupe de GL(n, K) isomorphe à (K). Dans les corps $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$, il s'agit du groupe des dilatations et contractions.

Une matrice scalaire est une matrice diagonale qui est le produit de la matrice identité par une constante. L’ensemble des matrices scalaires non nulles, parfois noté Z(n,K), forme un sous-groupe de GL(n, K) isomorphe à K. Ce groupe est le centre de GL(n, K). Il est invariant dans GL(n, K) et est abélien.

Le centre de SL(n,K), noté SZ(n,K), est simplement l’ensemble des matrices scalaires de déterminant 1. Il est isomorphe au groupe des racines n-ièmes de 1.

Classiques

Les groupes classiques sont les sous-groupes de GL(E) qui préservent une partie du produit interne sur E. Par exemple :

• le groupe orthogonal, O(E), qui préserve une forme bilinéaire symétrique sur E
• le groupe symplectique, Sp(E), qui préserve une forme bilinéaire antisymétrique sur E
• le groupe unitaire, U(E), qui préserve une forme hermitienne sur E (quand K est $\mathbb{C}$).

Ces groupes sont des exemples importants de groupes de Lie.