Harmonique sphérique

Restez toujours informé : suivez-nous sur Google (☆)

Introduction

En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières. À titre de rappel, une fonction est dite harmonique lorsque son laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.

Les polynômes harmoniques P(x,y,z) de degré l forment un espace vectoriel de dimension 2l + 1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ à l'aide de 2l + 1 combinaisons :

$r^{l} \cdot Y_{l, m} (θ, φ)$ ,

avec $- l \leq m \leq + l$ .

Les coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude.

Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité S.

Définition — Les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynômes homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.

C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation (groupe de symétrie orthogonal S**O(3)) et que le laplacien entre en jeu :

en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs)
en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique), gravimétrie ...
en géophysique (représentation du globe terrestre, en météorologie)
en cristallographie pour la texture,
en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique, description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène)
etc.

Résolution de l'équation de Laplace

On cherche les fonctions $Y_{l, m} (θ, φ)$ sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

Y_{l, m} (θ, φ) = k P_{l, m} (cos θ) e^{+ i m φ}

où k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle linéaire d'ordre deux pour la fonction P_l,m(cosθ) :

- \frac{1}{sin θ} \frac{d}{d θ} (sin θ \frac{d P _{l, m} ( cos θ )}{d θ}) + \frac{m ^{2}}{sin ^{2} θ} P_{l, m} (cos θ) = E_{l, m} P_{l, m} (cos θ)

On fait le changement de variable : $θ \mapsto x = cos θ$ qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

- \frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{d P _{l, m} ( x )}{d x}] + \frac{m ^{2}}{( 1 - x ^{2} )} P_{l, m} (x) = E_{l, m} P_{l, m} (x)

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de m :

E_{l, m} = l (l + 1)

Les fonctions propres P_l,m(x) se construisent à partir des polynômes de Legendre P_l(x) qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas m = 0 :

- \frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{d P _{l} ( x )}{d x}] = l (l + 1) P_{l} (x)

On a la formule génératrice d'Olinde Rodrigues :

P_{l} (x) = \frac{1}{2 ^{l} l !} \frac{d ^{l}}{d x ^{l}} [x^{2} - 1]^{l}

On construit alors les fonctions propres P_l,m(x) par la formule :

P_{l, m} (x) = (- 1)^{m} [1 - x^{2}]^{m /2} \frac{d ^{m} P _{l} ( x )}{d x ^{m}}

soit explicitement :

P_{l, m} (x) = \frac{( - 1 ) ^{m}}{2 ^{l} l !} [1 - x^{2}]^{m /2} \frac{d ^{l + m}}{d x ^{l + m}} [x^{2} - 1]^{l}

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions P_l,m(x) pour $m \geq 0$ , car il existe une relation simple entre P_l,m(x) et P_{l, − m}(x) :

P_{l, - m} (x) = (- 1)^{m} \frac{( l - m ) !}{( l + m ) !} P_{l, m} (x)

Expression des harmoniques sphériques

On obtient alors l'expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :

$Y_{l, 0} = P_{l} (cos θ) \cdot \frac{2 l + 1}{4 π}$ ,

où P**l(x) est le polynôme de Legendre de degré l.

On obtient ensuite :

J_{+} Y_{l, m} = (l^{2} - m^{2}) + (l - m) \cdot Y_{l, m + 1}

où

J_{+} = e^{i ϕ} (\frac{\partial}{\partial θ} + \frac{i}{tan θ} \cdot \frac{\partial}{\partial ϕ})

est l'opérateur « d'échelle montante ».

Pour m négatif, $Y_{l, m} = (- 1)^{m} . Y_{l, - m}^{*}$

Note : on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus.

Souvent cette base se note $∣ l m ⟩$ :

toute fonction sur la sphère S pourra donc s'écrire :

f (θ, ϕ) = f^{l, m} \cdot ∣ l m ⟩

(en convention de sommation d'Einstein), les coefficients complexes f(l,m) jouant le rôle de composantes de f dans la base des $∣ l m ⟩$ (on dit parfois coefficients de fourier généralisés).

En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de fourier réels.

Expression mathématique

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue $f (θ, φ)$ se décompose en une série d'harmoniques sphériques :

f (θ, φ) = l = 0 \sum + \infty m = - l \sum + l C_{l}^{m} \cdot Y_{l}^{m} (θ, φ)

où l et m sont des indices entiers, C_l est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Y_l est la partie réelle d'une fonction complexe Y_l

Y_{l}^{m} (θ, φ) = Re (\underline{Y_{l}^{m}} (θ, φ))

Y_l est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par

\underline{Y_{l}^{m}} (θ, φ) = \frac{2 \cdot ( l - m )!}{( l + m )!} \cdot P_{l}^{m} (cos θ) \cdot e^{im φ}

où i est l'imaginaire et P_l est le polynôme de Legendre :

P_{l}^{m} (X) = \frac{( - 1 ) ^{m}}{2 ^{l} \cdot l !} \cdot (1 - X^{2})^{m /2} \cdot \frac{\partial ^{m + l}}{\partial X ^{m + l}} [(X^{2} - 1)^{l}]

On a donc

Y_{l}^{m} (θ, φ) = \frac{2 \cdot ( l - m )!}{( l + m )!} \cdot P_{l}^{m} (cos θ) \cdot cos (m φ)

On a par exemple :

$P_{0}^{0} (cos θ) = 1$ (Y₀ est isotrope) ;
$P_{1}^{0} (cos θ) = cos θ$ ;
$P_{1}^{1} (cos θ) = - sin θ$ ;
$P_{3}^{1} (cos θ) = \frac{3}{2} \cdot sin θ \cdot (- 5 \cdot cos^{2} θ + 1)$ ;

Les fonctions Y_l(θ, φ) présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque Y₀ est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Polynômes de Legendre

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes P_l de la fonction cosinus :

Y_l(θ) = P_l(cosθ)

Les polynômes P_l utilisés sont les polynômes de Legendre :

$P_{l} (X) = \frac{1}{2 ^{l} \cdot l !} \cdot \frac{d ^{l}}{d X ^{l}} [(X^{2} - 1)^{l}]$ (formule de Rodrigues, mathématicien suisse)

On obtient :

$P_{0} (cos θ) = 1$ (fonction isotrope) ;
$P_{1} (cos θ) = cos θ$ ;
$P_{2} (cos θ) = \frac{1}{2} (3 cos^{2} θ - 1)$ ;
$P_{3} (cos θ) = \frac{1}{2} (5 cos^{3} θ - 3 cos θ)$ ;

Harmoniques sphériques normalisées

Base orthonormale des harmoniques sphériques

Parmi les (2l + 1) fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthomormale sur la sphère S munie de la mesure

$d μ = \frac{1}{4 π} sin θ d θ d ϕ$ ,

soit le produit scalaire (hermitien en fait) :

⟨ f_{1} ∣ f_{2} ⟩ = \frac{1}{4 π} \iint_{S^{2}} f_{1}^{*} f_{2} sin θ d θ d ϕ

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres :

- Δ Y_{l, m} (θ, φ) = l (l + 1) Y_{l, m} (θ, φ)

où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, J :

Δ f (θ, φ) = d e f J^{2} f = \frac{1}{sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{sin ^{2} θ} \frac{\partial ^{2} f}{\partial φ ^{2}}

Elles sont fonctions propres de l'opérateur $J_{3} = - i \frac{\partial}{\partial ϕ}$ :

J_{3} Y_{l, m} = m \cdot Y_{l, m}

Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement $Y_{l, m} (θ, φ)$ , où les angles $(θ, φ)$ sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et l et m sont deux nombres entiers tels que :

$0 \leq l$
$- l \leq m \leq + l$

Normalisation

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité S₂ au sens où :

Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :

\iint_{S_{2}} d Ω (θ, φ) \overline{Y} l^{'}, m^{'} (θ, φ) Y l, m (θ, φ) = δ_{l, l^{'}} δ_{m, m^{'}}

Dans cette formule, $d Ω (θ, φ)$ représente l'angle solide élémentaire :

d Ω (θ, φ) = sin θ d θ d φ

Toute fonction $f (θ, φ)$ suffisamment régulière admet un développement en série :

f (θ, φ) = l = 0 \sum + \infty m = - l \sum + l a_{l, m} Y_{l, m} (θ, φ)

où les coefficients complexes a_l,m se calculent par :

a_{l, m} = \iint_{S_{2}} d Ω (θ, φ) \overline{Y}_{l, m} (θ, φ) f (θ, φ)

Expression des harmoniques sphériques normalisées

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S₃. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

Y_{l, m} (θ, φ) = \frac{( 2 l + 1 )}{4 π} \frac{( l - ∣ m ∣ )!}{( l + ∣ m ∣ )!} P_{l, ∣ m ∣} (cos θ) e^{i m φ}

Représentations graphiques

Représentation sphérique

Si l'on utilise la représentation sphérique

ρ = ρ_{0} + ρ_{1} \cdot Y_{l}^{m} (θ, φ)

alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où Y_l est positif, les creux aux parties où Y_l est négatif. Lorsque θ et $φ$ décrivent l'intervalle [0;2π[, Y_l(θ, φ) s'annule selon l cercles :

m cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant O**z et la sphère) ;
l − m cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à Oxy et la sphère).

Le paramètre l est appelé le « degré », m est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Harmoniques spheriques positif negatif.png

Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique Y₃ :

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques :

Représentation en coupe

Les harmoniques sphériques peuvent être représentées de façon plus simple sans les ventres de vibration, en ne gardant que les noeuds, comme le montre le tableau suivant. Ce sont les sphères de la figure du haut, projetées sur un plan vertical. On retrouve sur la dernière ligne les quatre sphères de la première figure ci-dessus où l = 3. Les quatre valeurs de m y varient de 0 à 3 en valeur absolue. Sur la figure ci-après, on distingue les valeurs négatives pour tenir compte de ce que la rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre pour m > 0. Pour montrer la concordance avec les harmoniques, leur plus simple expression est donnée sous chaque sphère.

On reconnaît les nombres quantiques secondaire l, correspondant aux sous-couches s, p, d, f et m, magnétique, de l'atome d'hydrogène. Le nombre quantique principal n n'apparaît pas car les modes radiaux sont différents selon le problème étudié, résonance acoustique, atome d'hydrogène ou autre.

Pour montrer la concordance avec la littérature, l’expression des harmoniques sphériques est donnée sous chaque sphère. Le nombre et la valeur des zéros des polynômes de Legendre associés, non normalisés, donne le nombre de parallèles et leur position sur l’axe vertical. L’exponentielle imaginaire exp(i**mφ), de module unité, utilisée habituellement au lieu des sinus et cosinus, donne le nombre de méridiens. Les valeurs de $l \geq 4$ ne s’observent que dans les états excités ou les atomes de Rydberg où la valeur habituelle de l est 50 et dont l'orbitale est représentée non par une sphère mais par un anneau.

Représentation cartésienne et polaire

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

en coordonnées cartésiennes : y = Y_l(θ) ;
en coordonnées polaires : r = r₀ + r₁.Y_l(θ) avec r₁ < r₀, utilisé par exemple pour un objet circulaire ; la courbe coupe le cercle de centre O et de rayon r₀ lorsque la fonction s'annule ;
en coordonnées polaires : r = | Y_l(θ) | utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.

	Représentation cartésienne	Représentations polaires (tracé manuel)	Représentations polaires (tracé exact)
Y₁

Y₂
Y₃

Autres harmoniques

Harmoniques circulaires

Dans le plan, la décomposition s'écrit :

f (θ) = l = 0 \sum + \infty C_{l} \cdot Y_{l} (θ)

Y₀ est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires r = Y₀(θ) est donc un cercle de rayon r₀.

Y_l est une fonction invariante par une rotation d'un angle de 1 / (l + 1) tour, c'est-à-dire que

Y_{l} (θ + \frac{2 π}{l + 1}) = Y_{l} (θ)

on dit que Y_l admet une symétrie d'ordre l + 1.

Harmoniques sphériques généralisées

Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler (ψ, θ, φ).

Considérons une fonction continue de l'orientation ƒ(ψ, θ, φ) ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

f (ψ, θ, φ) = l = 0 \sum + \infty m = - l \sum + l n = - l \sum + l C_{l}^{mn} \cdot Y_{l}^{mn} (ψ, θ, φ)

où C_l est une constante. La fonction Y_l s'écrit :

Y_{l}^{mn} (ψ, θ, φ) = e^{im φ} \cdot P_{l}^{mn} (cos θ) \cdot e^{in ψ}

Le polynôme P_l est le polynôme de Legendre généralisé

P_{l}^{mn} (X) = \frac{( - 1 ) ^{l - m} \cdot i ^{n - m}}{2 ^{l} \cdot ( l - m )!} \cdot [\frac{( l - m )! ( l + n )!}{( l + m )! ( l - n )!}]^{1/2} \cdot (1 - X)^{- \frac{n - m}{2}}

\cdot (1 + X)^{- \frac{n + m}{2}} \cdot \frac{\partial ^{l - n}}{\partial X ^{l - n}} [(1 - X)^{l - m} (1 + X)^{l + m}]

Quand X décrit l'intervalle [ − 1;1], cette fonction P_l est soit réelle, soit imaginaire pure. Y₀(ψ, θ, φ) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :

Y_{l}^{mn} (ψ_{1} + ψ_{2}, θ_{1} + θ_{2}, φ_{1} + φ_{2}) = s = - l \sum + l Y_{l}^{m s} (ψ_{1}, θ_{1}, φ_{1}) \cdot Y_{l}^{s n} (ψ_{2}, θ_{2}, φ_{2})

et en particulier

P_{l}^{mn} (cos (θ_{1} + θ_{2})) = s = - l \sum + l P_{l}^{m s} (cos θ_{1}) \cdot P_{l}^{s n} (cos θ_{2})

On a de manière générale :

P_{l}^{mn} = P_{l}^{nm} = P_{l}^{- m - n}

Par exemple pour l = 1 :

m	n

-1

-1	$\frac{1}{2} (1 + cos θ)$	$- \frac{i}{2} sin θ$	$\frac{1}{2} (cos θ - 1)$
0	$- \frac{i}{2} sin θ$	cosθ	$- \frac{i}{2} sin θ$
1	$\frac{1}{2} (cos θ - 1)$	$- \frac{i}{2} sin θ$	$\frac{1}{2} (1 + cos θ)$

Pour l = 2 :

m	n

-2

-1

-2	$\frac{1}{4} (cos θ + 1)^{2}$	$- \frac{i}{2} sin θ (cos θ + 1)$	$- \frac{1}{2} \frac{3}{2} (1 - cos^{2} θ)$	$- \frac{i}{2} sin θ (cos θ - 1)$	$\frac{1}{4} (cos θ - 1)^{2}$
-1	$- \frac{i}{2} sin θ (cos θ + 1)$	$\frac{1}{2} (2 cos^{2} θ + cos θ - 1)$	$- \frac{3}{2} i sin θ cos θ$	$\frac{1}{2} (2 cos^{2} θ - cos θ - 1)$	$- \frac{i}{2} sin θ (cos θ - 1)$
0	$- \frac{1}{2} \frac{3}{2} (1 - cos^{2} θ)$	$- \frac{3}{2} i sin θ cos θ$	$\frac{1}{2} (3 cos^{2} θ - 1)$	$- \frac{3}{2} i sin θ cos θ$	$- \frac{1}{2} \frac{3}{2} (1 - cos^{2} θ)$
1	$- \frac{i}{2} sin θ (cos θ - 1)$	$\frac{1}{2} (2 cos^{2} θ - cos θ - 1)$	$- \frac{3}{2} i sin θ cos θ$	$\frac{1}{2} (2 cos^{2} θ + cos θ - 1)$	$- \frac{i}{2} sin θ (cos θ + 1)$
2	$\frac{1}{4} (cos θ - 1)^{2}$	$- \frac{i}{2} sin θ (cos θ - 1)$	$- \frac{1}{2} \frac{3}{2} (1 - cos^{2} θ)$	$- \frac{i}{2} sin θ (cos θ + 1)$	$\frac{1}{4} (cos θ + 1)^{2}$