Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique

En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l'anneau des entiers d'un corps quadratique ressemble à certains égards à celui des entiers relatifs. Certains d'entre eux sont euclidiens comme celui des entiers de Gauss d'Eisenstein ou les entiers du corps Q(√5). Cette propriété a pour conséquence les théorèmes classiques de l'arithmétique : identité de Bézout, lemme d'Euclide ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique.

En revanche, nombre d'anneaux d'entiers quadratiques ne sont pas euclidiens ni même principaux ou factoriels. Ernst Kummer, confronté à cette difficulté, découvre la notion de nombres idéaux, qui lui permet de démontrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas. Cette approche, finalisée par Richard Dedekind, permet d'offrir un palliatif à cette absence de factorialité. Si les nombres ne peuvent plus se décomposer en produit de facteurs premiers, de manière unique, sous un certain angle, les idéaux le peuvent.

Cette démarche permet la résolution de certaines équations diophantiennes, comme un cas relativement général de l'équation de Pell-Fermat ou des généralisation du théorème des deux carrés de Fermat. Le cas particulier de l'anneau des entiers quadratiques correspond à un cas simple d'une théorie plus vaste, celle des entiers algébriques. Les théorèmes fondamentaux comme l'unicité de la décomposition d'un idéal fractionnaire en idéaux premiers ou le caractère fini du groupe des classes d'idéaux prend une forme analogue à celle du cas général, mais reste plus simple à comprendre.

Anneau intégralement clos

Le contexte de l'article est celui d'un corps quadratique K c'est-à-dire d'une extension quadratique de Q, le corps des nombres rationnels. Il existe un entier sans facteur carré, non nécessairement positif, d tel que K est égal à Q[√d]. La valeur √d désigne un nombre tel que son carré est égal à d. Si Q[√d] est identifiée à un sous-corps de C, l'ensemble des nombres complexes, il est possible, par convention d'identifier √d avec la solution positive de l'équation X - d = 0 si d > 0 et la solution de partie imaginaire positive lorsque d < 0 . Cette notation, consistant à utiliser le radical racine appliqué à un nombre négatif, est fréquente et commode. Elle est justifiée dans l'article détaillé.

Un entier quadratique est un élément α de K tel qu'il existe un polynôme, de monôme dominant ayant un coefficient égal à 1, à coefficients dans l'ensemble Z des entiers relatifs et ayant pour racine α. L'ensemble des entiers quadratiques de K est stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication. On dit qu'il forme un anneau. Cet anneau correspond à l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans Z des deux éléments 1 et ω. Le nombre ω est un entier quadratique, égal à √d si d n'est pas congru à 1 modulo 4 et à 1/2(1 + √d) sinon. Cet ensemble, soit noté Z[ω] soit O_K, est composé des éléments de la forme a + b.ω, où a et b désignent des éléments de Z. Il n'est pas l'unique anneau d'entiers quadratiques inclus dans K, mais, à beaucoup d'égards il correspond à l'un des plus intéressants.

L'anneau Z[ω] dispose de propriétés aussi simples qu'importantes. Il est intègre c'est-à-dire qu'il est commutatif, unitaire, (il contient l'élément neutre de la multiplication 1) et si un produit α.β est égal à 0, alors, soit α, soit β est nul. L'intégrité et la commutativité est le propre de tout anneau formé d'éléments de C.

Comme tout anneau intègre, il est possible de considérer son corps des fractions, qui se trouve être exactement Q[√d], le corps qui sert à sa définition. Par sa construction, Z[ω] est égal à l'anneau des entiers algébriques de son corps des fractions. Un tel anneau est dit intégralement clos. Cette propriété apparaît indispensable pour certaines démonstrations données dans cet article.

Idéal premier, idéal maximal

La notion d'idéal est souvent clé en algèbre commutative. Les idéaux les plus simples peuvent être vus comme les multiples d'un élément de l'anneau (ici un nombre). Ainsi, les multiples de 3 dans les entiers relatifs forment un idéal. De manière plus générale, un idéal est un sous-ensemble de l'anneau, stable pour l'addition et la soustraction (il forme un groupe additif) et par la multiplication de n'importe quel élément de l'anneau. Ainsi la somme de deux multiples de trois est encore un multiple de trois et la multiplication d'un multiple de trois par un entier quelconque reste aussi un multiple de trois.

Les idéaux constitués de multiples sont suffisamment importants pour porter le nom d'idéal principal. Si tous les idéaux sont principaux, l'anneau est dit principal et, entre autres, le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique. En règle générale, une clôture intégrale d'un corps quadratique n'est pas principale. Comme exemple d'idéal non principal, on peut considérer, dans l'anneau des polynômes à coefficients dans Z, ceux qui ont une constante paire. Ils forment un idéal, qui n'est pas principal. L'un des attraits des idéaux est qu'ils permettent de quotienter l'anneau. L'exemple, peut-être le plus classique, est celui d'une structure clé en arithmétique modulaire Z/nZ. Deux éléments dont la différence est élément de l'idéal sont identifiés. Dans Z/3Z 1, 4 et 7 correspondent à la même classe. Une clôture intégrale possède une propriété commune avec Z :

• Le quotient d'un anneau unitaire d'entiers quadratiques avec un idéal non nul forme un anneau de cardinal fini.

Cette propriété n'utilise pas la clôture intégrale. Elle possède une conséquence sur deux types d'idéaux : les premiers et les maximaux. Un idéal est premier si le quotient de son anneau par l'idéal forme un anneau intègre. Cette notion généralise celle de nombre premier ou d'élément premier. Dire de α un élément d'un anneau A qu'il est premier signifie que, si un produit β.γ est égal à α, alors soit β soit γ est un élément inversible (comme 1 ou -1 dans Z). Un idéal principal est premier seulement si un élément qui engendre l'idéal est premier, cette propriété n'est pas suffisante. La définition d'idéal premier généralise celle d'élément premier. Un idéal est dit maximal lorsque le quotient de l'anneau par cet idéal est un corps. Une autre manière de dire les choses est de constater qu'un idéal est maximal si et seulement si il n'existe aucun idéal autre que l'anneau entier le contenant. Seul un élément premier peut engendrer un idéal maximal, mais il existe des anneaux ou un élément premier n'engendre pas d'idéal maximal. tel est le cas par exemple pour l'idéal des polynômes ayant une constante paire dans l'anneau des polynômes à coefficients dans Z. L'idéal est premier car si le produit de deux polynômes donne un polynôme avec une constante paire, alors un des deux polynômes possède une constante paire. En revanche il n'est pas maximal, il est par exemple contenu dans l'idéal formé de la somme d'un multiple de X + 1 et d'un polynôme ayant une constante multiple de 2. À l'image de l'anneau des entiers naturels, cette configuration ne se produit pas avec les anneaux traités par cet article :

• Un idéal premier d'un anneau unitaire d'entiers quadratiques est maximal.

Anneau noethérien

Les propriétés assemblées jusqu'à présent sur l'anneau des entiers d'un corps quadratique ne sont pas suffisantes pour établir une théorie solide. L'objectif est de montrer une propriété des anneaux d'entiers quadratiques qui ressemble un peu à la dimension pour les espaces vectoriels. Toute suite croissante de sous-espaces est stationnaire à partir d'un certain rang, dans un espace vectoriel de dimension finie. C'est une propriété équivalente que l'on recherche sur les anneaux. Dans Z, toute suite d'idéaux croissante est stationnaire, à partir d'un certain rang. Comme l'anneau Z est principal, dire qu'un idéal en contient un autre, c'est dire que son générateur divise l'autre. Si une suite a₀, a₁, ... a_n est tel que a_i+1 divise a_i, alors, à partir d'un certain rang, la suite est constante, à un facteur multiplicatif inversible près. Cette propriété est vraie sur tous les anneaux factoriels, mais elle est plus faible, ce qui est le but recherché car un anneau d'entiers d'un corps quadratique n'est pas nécessairement factoriel. Un tel anneau est dit noethérien.

• Un anneau unitaire d'entiers quadratiques est noethérien.

Une fois encore la propriété de clôture algébrique n'est pas nécessaire pour établir cette proposition. En fait, il est possible d'aller un peu plus loin :

• Tout idéal M non nul d'un anneau unitaire d'entiers quadratiques est un Z sous-module de dimension 2.

Un anneau unitaire d'entiers quadratiques peut être vu comme un presque espace vectoriel sur Z. Le mot presque signifie ici que les scalaires non nuls n'ont pas nécessairement un inverse. Une telle structure porte le nom de module. En revanche, la définition de la base reste la même, c'est une famille libre et génératrice.

Anneau de Dedekind

La méthode utilisée pour pallier l'absence de factorialité consiste à étudier les idéaux premiers de l'anneau. Si la structure est suffisamment riche, alors tout idéal se décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers, ce qui remplace le théorème fondamental de l'arithmétique pour ce type de structure. La définition du produit de deux idéaux est la suivante :

• Soit N et M deux idéaux d'un anneau commutatif A. L'idéal N.M, appelé produit des idéaux N et M est l'ensemble des sommes de produits d'un élément de A par un élément de N et un élément de M.

Il est relativement simple de montrer que ce produit est un idéal.

On sait déjà que Z[ω] est commutatif unitaire intègre et noethérien, ces propriétés sont néanmoins insuffisantes. L'exemple Z[i√3] le montre, l'idéal 4Z[i√3] ne possède aucune décomposition en idéal premier. Comme tout idéal, il est inclus dans un idéal maximal M, qui, dans cet exemple est unique et correspond à celui des éléments de la forme a.2 +b.(1+√3). Il est encore strictement inclus dans M, le carré de M, mais il contient strictement M.

Deux propriétés supplémentaires sont nécessaire pour obtenir le bon contexte. Tout idéal premier doit être maximal, ce qui est vrai pour tout anneau d'entiers quadratiques. De plus, l'anneau doit être intégralement clos, ce qui signifie que l'entier quadratique ω est nécessairement construit à partir d'un entier d sans facteur carré. Richard Dedekind découvre que cet ensemble de propriétés est suffisante pour établir les théorèmes clé.

Un anneau vérifiant toutes ces propriétés est dit de Dedekind. Toute fermeture intégrale d'une extension finie du corps des rationnels est un anneau de Dedekind. Les démonstrations sont néanmoins plus ardues.

Idéal fractionnaire

Les éléments sont maintenant réunis pour énoncer le premier théorème clé de l'article. Soit Q[√d] un corps quadratique et Z[ω] l' anneau de ses entiers quadratiques.

• Tout idéal non nul de Z[ω] se décompose de manière unique, à l'ordre près, en un produit d'idéaux premiers.

On remarque que les idéaux de Z[ω] forment un ensemble munis d'une multiplication. Cette multiplication contient un élément neutre Z[ω], est associative et commutative. Il ne manque que l'existence d'un inverse pour que cette structure soit un groupe multiplicatif. La définition suivante permet de pallier cette faiblesse et par là même de démontrer le théorème du paragraphe :

• Un ensemble F de Q[√d] est dit idéal fractionnaire lorsqu'il forme un groupe additif, qu'il est stable par multiplication par un entier quadratique et qu'il existe un élément δ de Q[√d] tel que le produit de δ par un élément quelconque de F soit un entier quadratique.

Cette définition permet d'énoncer la propriété suivante :

• L'ensemble des idéaux fractionnaires non nuls de Q[√d], munis de la multiplication, forme un groupe commutatif.

Norme

Les résultats du paragraphe précédent ne peuvent être opérationnels que s'il existe un moyen de déterminer les différents idéaux premiers. Cette tâche est un peu plus délicate pour les idéaux non principaux, elle nécessite l'élaboration d'outils spécifiques. L'application norme étudiée dans l'article Entier quadratique s'applique initialement à un entier quadratique α = a + b.ω. Dans une logique linéaire, le nombre α peut aussi être vu comme un endomorphisme, qui à x associe α.x. Il possède dans la base (1, ω) l'une des deux matrices suivantes selon que d est congru ou non à 1 modulo 4 :

On remarque que, dans les deux cas, le déterminant de l'endomorphisme associé à α est égal à sa norme. Une manière d'en comprendre la raison est d'observer que, si α n'est pas un rationnel, le polynôme minimal de α est aussi le polynôme minimal de l'endomorphisme associé à α. Le polynôme minimal de l'endomorphisme est ici le polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton et une considération de degré. Ce polynôme admet pour racine α et son conjugué, sa constante est égale au produit des deux racines ainsi qu'au déterminant de l'application linéaire associée à α. Cette remarque n'est pas sans conséquence géométrique. Si le module Z[ω] est représenté dans la base (1, ω), définie comme orthonormale, les points du module correspondent aux sommets d'un quadrillage de carrés de côté 1. La valeur absolue de la norme de α correspond à la surface du parallélogramme de sommets 0, α, α.ω et 1 + α.ω. Sur la figure de droite le point α est égal à 2 + i et ω est égal à i l'unité imaginaire correspondant à d = -1. La norme de α est, en valeur absolue, égale à la surface du carré rouge.

L'idéal M engendré par α est l'image de Z[ω] par l'application linéaire qui, à x associe α.x. Elle est composée par les points a.α + b.α.ω où a et b décrivent Z. Sur la figure, cette image est illustrée par les points verts et l'origine en rouge, une telle structure porte le nom de réseau. La surface du carré rouge est appelée volume fondamental du réseau. Une classe d'équivalence de Z[ω]/M correspond à un décalage du réseau, illustré par un exemple en bleu sur la figure. Les points bleus correspondent à la classe d'équivalence du nombre 1 + i. On remarque qu'il existe un représentant de chaque classe d'équivalence dans le carré rouge. Il existe donc autant de classes d'équivalence ou encore d'éléments de Z[ω]/M que de points de Z[ω] dans le carré rouge. L'espace est pavé par des carrés de côté 1 et de centre les points de Z[ω], on en conclut, aux effets de bord près, que la surface contenant le points rouges est à peu près égale au carré rouge. Une démonstration, analogue à celle du théorème de Minkowski, montre que la surface du carré rouge, égale à la valeur absolue du déterminant de l'application associée à α, est exactement égale au nombre de points de Z[ω] dans le carré rouge. De manière plus formelle, on remarque que (1, ω) est une base de l'espace vectoriel Q[ω]. Dans cet espace, on définit la surface V_α comme étant celle composée des points de coordonnées éléments de l'intervalle [0, 1[ dans la base (1, ω). Cette définition correspond au carré rouge.

• La valeur absolue de la norme d'un entier quadratique α est égale au cardinal de l'anneau Z*[ω] quotienté par l'idéal principal engendré par α.*

Cette caractérisation de la norme possède un avantage. Quitte à perdre l'information sur le signe de la norme, elle peut être étendue à tout idéal :

• La norme d'un idéal est le cardinal de l'anneau Z[ω] quotienté par cet idéal.

Ainsi, si l'idéal est principal, sa norme correspond à la valeur absolue de la norme d'un générateur. L'extension de la définition de la norme conserve la compatibilité avec la multiplication.

• La norme du produit de deux idéaux est égale au produit des normes des idéaux.

Discriminant

Un deuxième outil s'avère nécessaire pour déterminer les idéaux premiers : le discriminant de l'anneau. Soit α un élément de Z[ω] l'anneau des entiers de Q[√d], sa norme est égale à la constante de son polynôme minimal. Il est naturel d'associer à α la trace de cet endomorphisme, qui correspond à l'opposé du deuxième coefficient du polynôme minimal, celui du monôme de degré 1. La trace d'un entier quadratique est un élément de Z car les coefficients de sa matrice sont des entiers relatifs ou encore car son polynôme minimal possède ses coefficients dans Z.

Cette application permet aussi de définir un indicateur associé à un idéal M de Z[ω]. Notons φ_α l'endomorphisme, qui à x associe α.x. L'application qui à x et y, deux éléments de M, associe la trace de φ_x.y est une forme bilinéaire à valeur dans Z, appelée forme trace. En règle générale, le déterminant de la matrice d'une forme bilinéaire dépend de la base choisie. Dans un module sur Z, la situation est un peu différente. La formule donnant l'inverse d'une matrice en fonction de la comatrice montre qu'une matrice à coefficients dans Z n'est inversible que si son déterminant l'est aussi, il ne peut donc qu'être égal à ±1. Si B est la matrice de la forme bilinaire dans une base et si P est la matrice de passage dans une autre base, la matrice de la forme bilinaire dans la nouvelle base est égale à P.B.P. Comme le déterminant de P est égal à ±1, le déterminant de la matrice dans la nouvelle base est égal à celui obtenu dans l'ancienne, ce qui permet de définir le discriminant d'un idéal M comme le déterminant de la forme trace de M.

Dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique, le discriminant prend les valeurs suivantes :

• Le discriminant de Z*[ω] est égal à* d si d *est congru à 1 modulo 4 et 4.*d sinon :

• Le discriminant d'un idéal M est égal à au carré de la norme de M que multiplie le discriminant de Z*[ω] :*

Ces définitions et propositions sont générales à tout anneau de Dedekind.

Groupe des classes

Dans le groupe des idéaux fractionnaires, il existe des éléments plus simples à appréhender que d'autres : les idéaux principaux. Ils sont stables pour la multiplication, il ne manque que l'existence d'un inverse pour qu'ils disposent d'une structure de sous-groupe, ce qui justifie la définition suivante :

• Un idéal fractionnaire F de l'anneau des entiers quadratiques Z[ω] est dit principal si, et seulement si, il existe un rationnel quadratique δ, tel que F est égal à δ.Z[ω].

On remarque immédiatement que si δ est un rationnel quadratique, δ.Z[ω] est nécessairement un idéal fractionnaire. Cet ensemble est en effet non vide, il forme un groupe pour l'addition, est stable pour la multiplication et, si α est un dénominateur de δ, considéré comme une fraction d'éléments de Z[ω], alors αδ.Z[ω] est bien inclus dans l'anneau des entiers quadratiques.

• Les idéaux fractionnaires principaux de Z*[ω] forment un sous-groupe du groupe des idéaux fractionnaires.*

Les idéaux fractionnaires principaux forment un ensemble non vide car il contient l'anneau tout entier. Cet ensemble est stable pour la multiplication et si δ.Z[ω] est un idéal fractionnaire principal, alors δ.Z[ω] est son idéal fractionnaire principal inverse. Ici, δ désigne un rationnel quadratique.

Tout groupe commutatif se quotiente par n'importe lequel de ses sous-groupes. Dans ce cas particulier, le quotient est l'objet du deuxième théorème clé de l'article :

• Le quotient du groupe des idéaux fractionnaires par le sous-groupe des idéaux fractionnaires principaux est d'ordre fini.

Ce quotient est appelé groupe des classes d'idéaux. Chaque classe ne peut contenir qu'un unique idéal premier car un idéal n'admet qu'une unique décomposition en idéal premier, il n'existe donc qu'un nombre fini d'idéaux premiers non principaux. Une remarque géométrique, un peu de même nature que celle utilisée pour l'étude de la norme montre de plus que :

• La norme d'un idéal premier non principal est nécessairement inférieure à une constante m, définie par l'égalité suivante :