Olympiades internationales de mathématiques

Les Olympiades internationales de mathématiques (International Mathematical Olympiad en anglais) constituent un championnat international de mathématiques concernant des élèves à l'issue de leurs études secondaires. Les Olympiades ont lieu chaque année dans un pays différent.

Les premières Olympiades se sont déroulées en 1959 en Roumanie et regroupaient des participants de 7 pays d'Europe de l'Est (Bulgarie, Hongrie, Pologne, République démocratique allemande, Roumanie, Tchécoslovaquie, Union soviétique et Yougoslavie). Depuis, elles ont eu lieu tous les ans, sauf en 1980, en raison de dissensions internes.

Actuellement, plus de 100 pays des cinq continents sont concernés. Chaque pays envoie une équipe de 6 candidats au maximum (avec un chef de délégation et un adjoint, ainsi que d'éventuels observateurs). Les élèves doivent avoir moins de 20 ans et ne pas avoir commencé leurs études supérieures, mais aucune limite n'est imposée quant au nombre de participations. L'épreuve est individuelle mais il existe un classement (non officiel) par équipes (cf. infra).

L'épreuve consiste à résoudre sur deux jours, en deux séances de 4 heures et demie, deux séries de trois problèmes issus de la géométrie plane, de l'arithmétique, des inégalités ou de la combinatoire. Leur résolution fait appel plus au raisonnement qu'à des connaissances sophistiquées : les solutions sont souvent courtes et élégantes. À chaque problème est attribué un total de 7 points.

Chaque pays, excepté le pays organisateur, peut proposer des problèmes au Comité de sélection qui est mis en place par le pays organisateur, qui en sélectionne certains afin d'en écourter la liste. Les chefs de délégation arrivent quelques jours avant les élèves et se regroupent alors pour choisir les 6 exercices. Étant donné qu'ils connaissent les sujets avant les épreuves, ils sont séparés des élèves jusqu'à la fin de celles-ci. Les élèves sont accompagnés avant les épreuves par les chefs de délégation adjoints.

Les copies des élèves sont notées conjointement par les chefs de délégation de ce pays et les coordinateurs choisis par le pays organisateur (ou le chef de la délégation qui a proposé le problème pour les élèves du pays organisateur). En cas de désaccord, l'ensemble des chefs de délégation fournit un avis définitif.

Les médailles et mentions sont attribuées à titre individuel, selon les scores des participants, sur les critères suivants :

• 1/12 des participants reçoivent une médaille d'or ;
• 2/12 des participants reçoivent une médaille d'argent ;
• 3/12 des participants reçoivent une médaille de bronze ;
• tout élève, qui ne reçoit aucune médaille mais qui obtient la note de 7/7 sur un exercice, obtient la mention honorable.

Des prix spéciaux peuvent être attribués pour des solutions extrêmement élégantes. Courantes avant 1980, elles sont plus rares depuis : les dernières ont été attribuées en 1988, en 1995 et en 2005.

Remarques

• De 1959 à 1981, les équipes sont composées de 8 personnes ; en 1982, de 4 ; depuis 1983, de 6.
• En 1980, la compétition qui devait avoir lieu en Mongolie est annulée ; deux compétitions, considérées comme non officielles, se tiennent alors à la place : l'une en Finlande, l'autre à Mersch (Luxembourg).

Divers

• L'équipe de Corée du Nord est la seule équipe à avoir été disqualifiée, en 1991 et 2010.
• En 1994, l'équipe des États-Unis (composée de Jeremy Bem, Aleksandr Khazanov, Jacob Lurie, Noam Shazeer, Stephen Wang et Jonathan Weinstein) devient la première à réaliser un sans faute, totalisant 252 points sur 252 possibles. Cet exploit fut mentionné dans Time Magazine.
• Le Roumain Ciprian Manolescu a obtenu le score maximal (42 pts sur 42 possibles) à trois reprises, en 1995, 1996 et 1997.
• Le Français Vincent Lafforgue, frère de Laurent Lafforgue, a obtenu le score maximal à deux reprises, en 1990 et 1991.
• Plusieurs équipes remportèrent les Olympiades en obtenant six médailles d'or sur six possibles : la Chine en 1992, 1993, 1997, 2000, 2001, 2002, 2004, 2006, 2009 et 2010 (10 fois), la Russie en 2002 et 2008 (2 fois), les États-Unis en 1994 (1 fois) et la Bulgarie en 2003 (1 fois).
• L'équipe de Hongrie remporte l'Olympiade 1975 en n'obtenant aucune médaille d'or (5 médailles d'argent, 3 médailles de bronze). L'équipe qui finit à la deuxième place, celle de RDA, n'en obtient pas non plus (4 médailles d'argent, 4 médailles de bronze).
• L'Américain Reid Barton a été le premier participant à obtenir une médaille d'or à quatre reprises, en 1998 (32 pts, 26), 1999 (34 pts, 15), 2000 (39 pts, 5) et 2001 (42 pts, 1).
• L'Allemand Christian Reiher est le seul autre participant à avoir obtenu quatre médailles d'or, en 2000 (31 pts, 28), 2001 (32 pts, 28), 2002 (36 pts, 4) et 2003 (36 pts, 12) ; Reiher a également obtenu une médaille de bronze en 1999 (15 pts, 138).
• L'Australien Terence Tao a obtenu une médaille d'or en 1988 (34 pts, 13) alors qu'il n'était âgé que de 13 ans, devenant ainsi le plus jeune récipiendaire d'une médaille d'or. Il a par ailleurs obtenu une médaille de bronze en 1986 (19 pts, 87) et une médaille d'argent en 1987 (40 pts, 28). La médaille Fields lui est décernée en 2006.
• Grigori Perelman qui a obtenu le score maximal et une médaille d'or pour l'Union soviétique en 1982, refuse en 2006 la médaille Fields qui lui était décernée pour la solution qu'il a apportée à la conjecture de Poincaré. En 2010, il refuse également le prix du millénaire de l'Institut de mathématiques Clay, attribué pour la même découverte et doté d'un million de dollars.