Série divergente

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Introduction

En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente.

En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0. Par contraposition, cela fournit de nombreux exemples de séries divergentes, par exemple celle dont tous les termes valent 1. Un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 est la série harmonique :

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}

dont la divergence a été démontrée au Moyen Âge par le mathématicien Nicole Oresme.

Dans certains cas, il est malgré tout possible d'attribuer une valeur finie à la série en usant d'une procédure dite de « sommation », ou de « sommabilité », dont il existe plusieurs variantes. La série de Grandi 1-1+1-1+1… se voit ainsi par exemple attribuer la valeur 1/2.

Ce point de vue est fondamental en physique théorique, où, dans de nombreuses situations, on ne peut calculer des solutions qu'au moyen de la théorie des perturbations, qui fournit des résultats sous la forme de séries qui sont le plus souvent divergentes.

Propriétés des méthodes de sommation

Une méthode de sommation est une fonction partant d'un certain sous-ensemble de l'ensemble des suites de sommes partielles de séries à termes réels ou complexes (qui s'identifie naturellement à l'ensemble des suites à termes réels ou complexes, mais il est usuel et donc plus pratique de ne pas faire cette identification quand on parle de série), et à valeurs dans l'ensemble des nombres réels ou complexes. On fixe les notations suivantes : (a_n) est une suite de nombres réels ou complexes, s est la série de terme général a_n, et ses sommes partielles sont notées $s_{n} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}$ . Les premières propriétés à discuter concernant une méthode de sommation M sont :

la régularité. Une méthode de sommation M est dite régulière si, dès que la suite de sommes partielles (s_n) est convergente vers une limite S, l'identité M(s)=S est vérifiée.
la linéarité. La méthode M est dite linéaire si son ensemble de départ admet une structure d'espace vectoriel (réel ou complexe), et qu'elle définit une application linéaire de cet espace dans la droite d'arrivée.
la stabilité. On définit une deuxième série s' à partir de la série s par décalage, en posant que son terme général est a'_n=a_n+1 (ou encore que sa somme partielle est s'_n=s_n+1-s₀). La méthode M est dite stable si l'appartenance de s' à l'ensemble de départ de M est équivalente à celle de s, et si, dans ce cas, on a l'identité : M(s')=M(s)-a₀.

Certaines méthodes importantes, telles que la sommation de Borel ne sont pas stables. Du point de vue numérique, l'abandon des propriétés de régularité et linéarité permet aussi d'aboutir à des méthodes puissantes, comme celle des approximants de Padé.

La comparaison de deux méthodes distinctes de sommation peut se faire à travers les notions suivantes : deux méthodes A et B sont dites compatibles (ou consistantes) si elles assignent la même valeur à chaque série qu'elles somment toutes deux. Entre deux méthodes compatibles, si l'une parvient à sommer toutes les séries que l'autre parvient à sommer, elle est dite plus forte.

Point de vue axiomatique

Le point de vue axiomatique consiste à trouver des conséquences sur les propriétés d'une méthode de sommation à partir des propriétés de base. Par exemple, toute méthode régulière, stable et linéaire qui parvient à sommer les séries géométriques de raison différente de 1 les somme à la même valeur, spécifiée dans le calcul suivant :

G (r, c) = k = 0 \sum \infty c r^{k} = c + k = 0 \sum \infty c r^{k + 1} (par stabilit \overset{e}{ˊ}) = c + r k = 0 \sum \infty c r^{k} (par lin \overset{e}{ˊ} arit \overset{e}{ˊ}) = c + r G (r, c), donc G (r, c) = \frac{c}{1 - r},

Théorèmes abéliens et taubériens

Une méthode de sommation M est dite régulière si les résultats qu'elle fournit sont, pour les séries convergentes, les mêmes que les sommes de ces séries au sens classique. Un tel résultat porte le nom général de théorème abélien, et le théorème d'Abel portant sur la valeur des séries entières sur le cercle de convergence, en est un prototype. Des résultats réciproques, assurant qu'une méthode M de sommation étant fixée, toute série s sommée par cette méthode vérifiant une certaine condition supplémentaire (dépendant de la méthode) est en fait une série convergente, sont appelés théorèmes taubériens (en). Demander une condition supplémentaire est important, puisqu'une méthode vérifiant un théorème taubérien sans telle condition ne serait en fait pas capable de sommer d'autres séries que les convergentes, et donc sans intérêt pour l'étude des séries divergentes.

L'opérateur qui assigne à une série convergente sa somme est linéaire, et d'après le théorème de Hahn-Banach, peut être prolongé en un opérateur linéaire sur l'espace des séries dont la suite des sommes partielles est bornée. Cependant, cette manière d'attaquer le problème s'avère peu fertile : d'une part, la démonstration obtenue ainsi repose sur le lemme de Zorn, et est donc non constructive ; d'autre part, il n'y a aucun résultat d'unicité, et les différentes méthodes de sommation obtenues sont peu compatibles.

Le problème de la sommation des séries divergentes est ainsi centré sur la recherche des méthodes explicites, telles que la sommation d'Abel, le lemme de Cesàro, ou la sommation de Borel, et leurs relations. Les théorèmes taubériens forment aussi un sujet important ; notamment à travers le théorème taubérien de Wiener (en) qui éclaira des liens inattendus entre l'analyse de Fourier et les méthodes issues de l'étude des algèbres de Banach .

La sommation des séries divergentes est aussi liée aux méthode d'extrapolation (en) et aux méthodes de transformation de suite (en), telles que les approximants de Padé.

Moyennes de Nörlund

Soit *p=(p_n)*une suite à termes positifs et vérifiant la convergence :

\frac{p _{n}}{p _{0} + p _{1} + \dots + p _{n}} \to 0.

Soit une suite s, de terme général s_m. Sa moyenne de Nörlund relativement à la suite p est la limite de la suite de terme général :

t_{m} = \frac{p _{m} s _{0} + p _{m - 1} s _{1} + \dots + p _{0} s _{m}}{p _{0} + p _{1} + \dots + p _{m}},

et elle est notée N_p(s).

Ces méthodes de sommations sont régulières, linéaires, stables, et consistantes entre elles. Pour k entier strictement positif, le cas particulier de la suite p de terme général :

p_{n}^{k} = (k - 1 n + k - 1) = \frac{Γ ( n + k )}{Γ ( k )},

est la méthode de sommation de Cesàro d'ordre k, notée C_k, avec donc : C_k(s) = N_(p)(s). Il est usuel de considérer que C₀ est la sommation des séries convergentes, et que C₁ est la sommation de Cesàro ordinaire. Pour h > k, la sommation de Cesàro d'ordre h est plus forte que celle d'ordre k.

Les méthodes de sommation d'Abel

Soit λ = {λ₀, λ₁, λ₂, …} une suite de réels positifs strictement croissante tendant vers l'infini. La somme d'Abel liée à la suite λ d'une série s de terme général a_n est

A_{λ} (s) = x \to 0^{+} lim f (x),

sous la condition que la somme suivante définissant la fonction f soit convergente pour x assez proche de 0 :

f (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} exp (- λ_{n} x) .

Les séries de cette forme sont des généralisations des séries de Dirichlet.

Ces méthodes de sommation sont régulières, linéaires, stables, mais il n'y a pas en général consistance entre deux telles méthodes (i.e pour deux choix distincts de λ).

Sommation d'Abel

Dans le cas λ_n = n, on obtient par le changement de variables z = exp(-x) l'expression :

f (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} exp (- n x) = n = 0 \sum \infty a_{n} z^{n} .

Et la limite de f quand x tend vers 0 est donc la limite de la série entière ci-dessus quand z tend vers 1 (le long de l'axe réel, par valeur inférieure).

Cette sommation particulière est compatible avec et plus forte que la sommation de Cesàro à n'importe quel ordre.

Sommation de Lindelöf

Dans le cas λ_n = n ln(n), on obtient :

f (x) = a_{1} + a_{2} 2^{- 2 x} + a_{3} 3^{- 3 x} + \dots .

La limite quand x tend vers 0 est la somme de Lindelöf de la série de terme général a_n. Cette méthode a des applications aux séries entières.

Bibliographie

Vulgarisation

Jean-Pierre Ramis ; Les séries divergentes, Pour La Science 350 (Décembre 2006), 132-139.

Bibliothèque virtuelle

Journées X-UPS ; Séries divergentes et procédés de resommation, (1991). pdf. Contient les quatre contributions suivantes :
Jean-Pierre Ramis ; Séries divergentes et théories asymptotiques ;
Michèle Loday-Richaud ; Séries formelles provenant de systèmes différentiels linéaires méromorphes ;
Jean Thomann ; Procédés formels et numériques de sommation de séries solutions d'équations différentielles ;
Alain Chenciner ; Séries divergentes de la mécanique céleste (problèmes planétaires).

Ouvrages de référence

Émile Borel ; Leçons sur les séries divergentes, Gauthier-Villars, Paris (Deuxième édition - 1928).
Godfrey H Hardy ; Divergent Series, Oxford University Press (1949). Réédition : American Mathematical Society (1992), ISBN 0-8218-2649-2.
Jean-Pierre Ramis ; Séries divergentes et théories asymptotiques, Panoramas et Synthèses 0 (1994), ISBN 2-85629-024-8.
Bernard Malgrange ; Sommation des séries divergentes, Expositiones Mathematicae 13 (1995), 163-222.
Leonhard Euler Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques, Mémoires de l'academie des sciences de Berlin 17, 1768, pp. 83-106; Opera Omnia: Series 1, Volume 15, pp. 70 - 90; Euler Archive: E352.