Similitude (géométrie)

En géométrie euclidienne, une similitude est une transformation qui met en relation toute figure avec une figure semblable, de même forme. Par exemple, l’image d’un carré par une similitude est un carré. Et tout triangle rectangle isocèle est semblable à n’importe quel triangle rectangle isocèle. Si la similitude agit sur l’espace à trois dimensions, elle transforme un cube en un cube, et une sphère en une sphère. N’importe quelle figure géométrique est semblable à elle-même, car la transformation à l’identique est une similitude particulière. Et n’importe quel cercle est semblable à n’importe quel cercle. Une similitude transforme un triangle équilatéral en un triangle équilatéral. Une autre page est consacrée aux triangles semblables.

Le rapport k d’une similitude est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs d’une première figure géométrique, et les longueurs correspondantes dans l’image de la première par la similitude. Autrement dit, la seconde figure reproduit la première à l’échelle k.  Le nombre  k × k  ou  k  est alors le coefficient de proportionnalité entre les superficies correspondantes — au lieu de “superficie”, on dit aussi “aire” —. Et k est le coefficient de proportionnalité entre les volumes correspondants, quand la similitude est définie dans l’espace à trois dimensions.

Par exemple, une similitude de rapport dix multiplie les longueurs par dix et les aires par cent. Si une similitude de rapport dix est définie dans l’espace à trois dimensions, elle multiplie les volumes par mille. Si une similitude de l’espace multiplie les volumes par deux, alors son rapport est le nombre positif k tel que k = 2.  Ce nombre k est la racine cubique de 2, qui peut s’écrire 2.

Les similitudes de rapport 1 sont des isométries. Par exemple, les rotations, les translations et les symétries sont des similitudes de rapport 1.

Les homothéties sont des similitudes, et il faut noter l’ambiguïté du mot rapport. Le rapport d’une homothétie concerne des vecteurs, il peut être négatif, tandis que le rapport d’une similitude est un rapport de distances, toujours positif. Par exemple, une homothétie de rapport négatif -1 est une symétrie par rapport à son centre, ou une similitude de rapport positif 1, et d’angle 180° (un demi-tour). Dans tous les cas, une homothétie de rapport k est une similitude de rapport positif |k|.

Exemple avec racine carrée de deux

Avec tan(60°) et sin(60°)

Avec racine carrée de cinq

Définition

Pour toute transformation f du plan euclidien, les propositions suivantes sont équivalentes.

• f multiplie les distances par un réel strictement positif k ;
• f conserve les rapports de distances ;
• f conserve les angles géométriques (c'est-à-dire les mesures d'angles non orientés).

Une transformation du plan qui vérifie ces propositions est appelée une similitude du plan. Le nombre k est appelé le rapport de la similitude f. Une similitude qui conserve les angles orientés est appelée similitude directe

Les similitudes conservent donc les barycentres et les cercles. Réciproquement, toute transformation bijective du plan qui conserve les cercles est une similitude (Cf. Théorème d'Abouabdillah)

Étude par les points fixes

• Une similitude plane qui admet trois points fixes non alignés est l'identité du plan.
• Une similitude plane qui admet deux points fixes distincts A et B est soit l'identité du plan, soit la symétrie axiale d'axe (AB).
• Une similitude directe qui admet deux points fixes distincts est donc l'identité.

On peut donc classer les similitudes suivant le nombre de leurs points fixes :

• l'identité, pour laquelle tous les points du plan sont fixes ;
• les similitudes (indirectes) admettant une droite de points fixes : les symétries axiales (ou réflexions);
• les similitudes directes avec un unique point fixe, qu'on appelle alors le centre de la similitude ;
• les similitudes directes sans point fixe.

Similitudes planes directes

Mises à part les translations, toute similitude plane directe peut être décomposée en une homothétie et en une rotation de même centre.

Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée déplacement.

Toute similitude non directe (dite indirecte) est la composée d'une similitude directe et d'une réflexion.

Forme complexe

Les calculs sont adaptés au plan complexe. La traduction d'une similitude directe s'y exprime par z' = a**z + b, où a et b sont des complexes, a non nul. Le rapport de la similitude est alors | a | , son angle arg(a).

Cas spéciaux :

• Dans le cas où a = 1, la similitude est une translation.

• Dans le cas où a = − 1, la similitude est une symétrie centrale de centre $\Omega \left(\frac{b}{2}\right)$. On peut aussi la considérer comme une rotation de centre $\Omega \left(\frac{b}{2}\right)$ et d'angle π, ou encore une homothétie de centre $\Omega (\frac{b}{2})$ et de rapport k = − 1.

• Dans le cas où $a\in \mathbb{R}\ast -\left\{1\right\}$, alors la similitude est une homothétie de centre $\Omega \left(\frac{b}{1-a}\right)$ et de rapport a.

Théorème —  Toute similitude plane directe a une écriture complexe de la forme $z^{\prime }=az+b,a\in {\mathbb{C}}^{\ast },b\in \mathbb{C}$.

Théorème —  Toute transformation ayant une écriture complexe de la forme $z^{\prime }=az+b,a\in {\mathbb{C}}^{\ast },b\in \mathbb{C}$ est une similitude.

Une similitude indirecte aura une écriture complexe de la forme $z^{\prime }=a\bar{z}+b$, où a et b sont complexes, a non nul.

Définition par deux points et leurs images

Soient $A,B,A^{\prime },B^{\prime }$ quatre points du plan tels que : $A\ne B$ et $A^{\prime }\ne B^{\prime }$. Il existe une unique similitude directe S tel que $S(A)=A^{\prime }$ et $S(B)=B^{\prime }$

Le groupe des similitudes

La composée de deux similitudes f et g est une similitude, dont le rapport est le produit des rapports de f et g. Dans le cas de deux similitudes directes, on a : $S_{(\Omega ,k,\theta )}\circ S_{({\Omega }^{\prime },k^{\prime },{\theta }^{\prime })}=S_{({\Omega }^{\prime \prime },k{k}^{\prime },\theta +{\theta }^{\prime })}$ lorsque $k{k}^{\prime }\ne 1$ ou $\theta +{\theta }^{\prime }\ne 0$. Dans le cas contraire, la composée est une translation.

La transformation réciproque d'une similitude f est une similitude, de rapport : l'inverse du rapport de f. Pour une similitude directe, on a : $S^{-1}(\Omega ,k,\theta )=S(\Omega ,\frac{1}{k},-\theta )$.

L'ensemble des similitudes du plan, muni de la loi de composition est donc un groupe, dont deux sous-groupes sont : le groupe des similitudes directes et le groupe des isométries (dont un sous-groupe est le groupe des déplacements).

Le cas des similitudes planes se généralise dans le cadre d'abord d'un espace euclidien, à savoir un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire <.|.>, puis d'un espace affine euclidien. Le produit scalaire donne un moyen de mesurer les distances. Ainsi, une application linéaire f sera une isométrie d'un tel espace si pour tous vecteurs x et y, <f(x)|f(y)>=<x|y> ; les isométries dans un espace euclidien forment un groupe appelé groupe orthogonal.

Une application linéaire f est une similitude (vectorielle) s'il existe un réel strictement positif k, appelé rapport de la similitude, tel que pour tous vecteurs x et y, <f(x)|f(y)>=k<x|y>. La transformation $f/\sqrt{k}$ est alors une isométrie : ainsi, toute similitude est la composée d'une isométrie et d'une homothétie : le groupe des similitudes est produit direct du groupe des isométries et du groupe des homothéties non nulles.

Dans un espace affine, le groupe affine est produit semi-direct du groupe linéaire par le groupe des translations. Dans un espace affine euclidien, les similitudes sont les éléments du sous-groupe produit semi-direct des similitudes vectorielles par les translations.