Température inverse

Introduction

La température inverse, notée β et parfois dite bêta thermodynamique, est une grandeur physique utilisée en physique statistique. Elle reliée à la température T d'un système par β = 1/(kT), où k est la constante de Boltzmann. Son unité est le J.

Interprétation

Physique statistique

On considère un système composé deux sous-systèmes, d'énergies E et E. Le nombre de micro-états du système peut s'écrire en fonction de ceux des sous-systèmes :

$Ω (E_{1} + E_{2}) = Ω (E_{1}) \times Ω (E_{2})$ .

Cette relation est caractéristique de la fonction exponentielle et pousse à poser

$Ω (E) \propto exp - β E$ ,

où β est à relier à la température du système lorsqu'il est à l'équilibre thermodynamique. Une autre version de l'interprétation utilise le fait que Ω est maximum à l'équilibre thermodynamique, ainsi que la relation E = E+E pour un système isolé. Dès lors,

0 = \frac{d Ω _{1}}{d E _{1}} Ω_{2} + Ω_{1} \frac{d Ω _{2}}{d E _{1}}

ce qui, avec dE = −dE, donne

$\frac{1}{Ω}_{1} \frac{d Ω _{1}}{d E _{1}} = \frac{1}{Ω}_{2} \frac{d Ω _{2}}{d E _{2}}$ .

Cela motive l'écriture d'un paramètre

β = \frac{d lo g Ω}{d E}

qui est relié à la température, car à l'équilibre β = β.

Formulaire

Contexte	Formule	Notations
Thermodynamique Théorie cinétique des gaz Physique statistique	$β = \frac{1}{k T}$	T : température k : constante de Boltzmann
Ensemble microcanonique	$β = \frac{d l o g Ω}{d E}$	Ω : nombre de micro-états E : énergie du système.
Ensemble canonique	$E = \frac{d l o g Z}{d β}$	E : énergie Z : fonction de partition
Thermodynamique	$β = \frac{1}{k} (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n}$	S : entropie U : énergie interne V : volume n : quantité de matière k : constante de Boltzmann