Théorème de factorisation (de morphismes)

En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'un espace quotient X / R dans un autre espace Y à partir d'un morphisme de X vers Y.

Soient X un ensemble muni d'une relation d'équivalence R et $s:X\to X/R$ la surjection canonique. Soit $f:X\to Y$ une application.

Théorème —  Si pour tout couple xRx' dans X, on a f(x) = f(x'), alors il existe une unique application $g:X/R\to Y$ telle que f = g**s. De plus,

• g est surjective si f est surjective;
• g est injective si on a xRx' équivalent à f(x) = f(x');
• g est bijective si f est surjective et si
  $$xR{x}^{\prime }⟺f(x)=f(x^{\prime })$$
  .

Les conditions du théorème sont optimales dans le sens suivant:

• Si une factorisation de $f:X\to Y$ existe à travers $X\to X/R$, alors f(x) = f(x') dès que xRx';

• Supposons que la factorisation existe. Alors f est surjective si g l'est, et si g est injective, alors xRx' équivaut à f(x) = f(x').

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologique.

Soient X un espace topologique muni d'une relation d'équivalence R et $s:X\to X/R$ la surjection canonique. On munit X / R de la topologie quotient. Soit $f:X\to Y$ une application continue .

Théorème —  Si pour tout couple xRx' dans X, on a f(x) = f(x'), alors il existe une unique application continue $g:X/R\to Y$ telle que f = g**s. De plus,

• g est surjective si f est surjective;
• g est injective si on a xRx' équivalent à f(x) = f(x');
• g est ouverte (resp. fermée) si f est ouverte (resp. fermée);
• g est un homéomorphisme si f est surjective et ouverte ou fermée, et si
  $$xR{x}^{\prime }⟺f(x)=f(x^{\prime })$$
  .

On considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe distingué H d'un groupe G: xRx' si $x\in x^{\prime }H$. Alors $s:G\to G/H=G/R$ est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit $f:G\to K$ un morphisme de groupes. Si H est contenu dans le noyau de f, alors il existe un unique morphisme de groupes $g:G/H\to K$ tel que f = g**s. De plus,

• g est surjectif si f est surjectif;
• g est injectif si on a H = Kerf;
• g est un isomorphisme si f est surjectif et H = Kerf.

On considère un espace vectoriel E et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel H: xRx' si $x-x^{\prime }\in H$. Alors $s:E\to E/H=E/R$ est une application linéaire.

Théorème —  Soit $f:E\to F$ une application linéaire. Si H est contenu dans le noyau de f, alors il existe une unique application linéaire $g:E/H\to F$ telle que f = g**s. De plus,

• g est surjective si f est surjective;
• g est injective si on a H = Kerf;
• g est un isomorphisme si f est surjectif et H = Kerf.

On considère un anneau A et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère I de A: xRx' si $x-x^{\prime }\in I$. Alors $s:A\to A/I=A/R$ est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit $f:A\to B$ un morphisme d'anneaux. Si I est contenu dans le noyau de f, alors il existe un unique morphisme d'anneaux $g:A/I\to B$ tel que f = g**s. De plus,

• g est surjectif si f est surjectif;
• g est injectif si on a I = Kerf;
• g est un isomorphisme si f est surjectif et I = Kerf.