Topologie quotient

En mathématiques, la topologie quotient consiste intuitivement à créer une topologie en collant certains points d'un espace donné sur d'autres, par le biais d'une relation d'équivalence bien choisie. Cela est souvent fait dans le but de construire de nouveaux espaces à partir d'anciens. On parle alors d'espace quotient.

Beaucoup d'espaces intéressants, le cercle, les tores, le ruban de Möbius, les espaces projectifs sont définis comme des quotients. La topologie quotient fournit souvent la façon la plus naturelle de munir un ensemble défini "géométriquement" d'une topologie naturelle. Citons par exemple (voir plus bas) l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $p$ de ${\mathbb{R}}^n$.

Citons aussi le cas des surfaces de ${\mathbb{R}}^3$ particulières : les tores à $p$ trous. Pour formaliser cette notion, il faut définir l'opération consistant à ajouter une anse à une surface. Cela se fait sans trop de difficulté en utilisant la topologie quotient, alors qu'il n'est pas évident du tout de définir de telles surfaces par une équation !

Cette notion illustre aussi l'efficacité de la topologie générale par rapport à la théorie des espaces métriques, souvent utilisée comme introduction à la topologie : bien que la topologie de la plupart des exemples décrits ci-dessous puisse être définie par une métrique, une telle métrique n'est pas toujours facile à construire.

Soit $X$ un espace topologique et $\mathcal{R}$ une relation d'équivalence sur $X$. On notera $p$ l'application naturelle de $X$ dans $X/\mathcal{R}$ qui associe à un élément de $X$ sa classe d'équivalence.

La topologie quotient sur $X/\mathcal{R}$ est définie de la façon suivante : pour qu'une partie $U\subset X/\mathcal{R}$ soit ouverte, il faut et suffit que $p^{-1}(U)$ soit ouvert dans $X$. Comme, d'après la théorie élémentaire des ensembles, l'image réciproque d'une intersection (resp. d'une réunion) est égale à l'intersection (resp. la réunion) des images réciproques, on définit bien ainsi une topologie.

Soit $Y$ un espace topologique quelconque. Alors, pour qu'une application $f$ de $X/\mathcal{R}$ dans $Y$ soit continue, il faut et il suffit que l'application $f\circ p$ de $X$ dans $Y$ soit continue.

La définition de la topologie quotient est faite précisément pour que cette propriété soit satisfaite : si $V$ est un ouvert de Y,, alors $f^{-1}(V)$ est ouvert dans $X/\mathcal{R}$ si et seulement si $p^{-1}(f^{-1}(V))$ est ouvert dans $X$. Mais $p^{-1}(f^{-1}(V))=(f\circ p{)}^{-1}(V)$.

Remarque

Ce critère nous dit aussi que si une application continue $g$ de $X$ dans $Y$ est constante sur les classes d'équivalence, alors l'application $\overline{g}$ de $X/\mathcal{R}$ dans $Y$ définie par passage au quotient est automatiquement continue.

Quelques pièges

Le prix à payer pour la simplicité de cette définition est le fait que même si $X$ est séparé, $X/\mathcal{R}$ muni de la topologie quotient ne le sera pas forcément (et même s'il l'est, il faudra le démontrer cas par cas). En effet, si $U$ est ouvert dans $X$, il n'y a aucune raison en général pour que $p(U)$ soit ouvert dans $X/\mathcal{R}$, et si $U_1$ et $U_2$ sont deux parties disjointes de X_,, leurs images par $p$ ne le sont pas nécessairement.

Premiers exemples

• Si $X=[0,1]$, et si $\mathcal{R}$ est la relation d'équivalence qui

identifie $0$ et $1$, $X/\mathcal{R}$ muni de la topologie quotient est homéomorphe au cercle.

• Si $A$ est une partie de $X$,

notons $X/A$ l'espace obtenu en identifiant tous les points de $A$, muni de la topologie quotient.

* Si $X$ est une boule euclidienne fermée de dimension $n$ et $A$ sa frontière

(qui est la sphère unité $S^{n-1}$) on peut montrer que $X/A$ est homémorphe à $S^n$.

* Si $X=\mathbb{R}$ et $A=\mathbb{Q}$, la topologie quotient sur $X/A$ est la topologie grossière.

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $A$ une partie de $X$, $B$ une partie de $Y$, et $f:A\mapsto B$ un homéomorphisme.

Le recollement de $X$ et $Y$ le long de $f$ est le quotient de la réunion disjointe $X\coprod Y$ par la relation d'équivalence qui identifie les éléments de $A$ et ceux de $B$ au moyen de $f$.

On peut décrire ainsi l'opération consistant à ajouter une anse à une surface $X$. On prend $Y=S^1\times [0,1]$, $A=\partial D_0\cup \partial D_1$ pour deux disques fermés disjoints D₀ et D₁, $B=S^1\times \{0\}\cup S^1\times \{1\}$ ; $f$ est un homéomorphisme de $\partial D_0$ sur $S^1\times \{0\}$ et de $\partial D_1$ sur $S^1\times \{1\}$. (c'est plus rapide à dessiner qu'à décrire).

Le cercle peut aussi s'obtenir comme quotient de par la relation définie par

Plus généralement, on dit qu'un groupe topologique $\Gamma$ agit continument sur un espace topologique $X$ si on a une application continue $(\gamma ,x)\mapsto \gamma \cdot x$ de $\Gamma \times X$ dans $X$ telle que

${\gamma }^{\prime }\cdot (\gamma \cdot x)=({\gamma }^{\prime }\gamma )\cdot x$ et $e\cdot x=x$

L'espace quotient par la relation d'équivalence

est noté $X/\Gamma$, et appelé espace des orbites de $\Gamma$

Pour éviter des situations trop pathologiques, on suppose souvent que $X$ est localement compact et que l'action de $\Gamma$ est propre, c’est-à-dire que l'image réciproque de tout compact $K\subset X$ par l'application $(\gamma ,x)\mapsto \gamma \cdot x$ est compacte. Si $\Gamma$ est un groupe discret (situation fréquente et déjà intéressante), cela revient à dire que l'ensemble des $\gamma$ tels que $\gamma (K)\cap K\ne \varnothing$ est fini.

On démontre que le quotient d'un espace localement compact par une action propre est séparé (et localement compact).

Exemples

• Pour l'action de $\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{R}\times [-1,1]$

donnée par $n\cdot (x,y)=(x+n,y)$ l'espace quotient est un cylindre. Pour l'action donnée par $n\cdot (x,y)=(x+n,(-1{)}^{n}y)$, l'espace quotient est un ruban de Möbius.

• Pour l'action de ${\mathbb{Z}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$

donnée par $(m,n)\cdot (x,y)=(x+m,y+n)$ l'espace quotient est un tore

• Pour l'action du groupe à deux éléments $\{I,\sigma \}$

sur la sphère $S^n$ définie par $\sigma .x=-x$, le quotient est l'espace projectif.

• Sur ${\mathbb{R}}^2$, les transformations

$(x,y)\mapsto (x,y+1)$ et $(x,y)\mapsto (x+1,-y)$ engendrent un groupe $\Gamma$ qui agit proprement (c'est un sous-groupe discret du groupe des isométries euclidennes). Le quotient ${\mathbb{R}}^2/\Gamma$ est la bouteille de Klein.

On appelle ainsi un ensemble muni d'une action transitive d'un groupe $G$.

Généralités

Soit $G$ un groupe topologique et $H$ un sous-groupe (par forcément normal). L'ensemble des classes à droite de $G$ modulo $H$, noté $G/H$, est le quotient de $G$ par la relation d'équivalence $x^{-1}y\in H$. C'est aussi l'ensemble des orbites de l'action de $H$ sur $G$ par translations à droites.

Proposition. Si $H$ est fermé dans $G$, $G/H$ est séparé.

Preuve. Comme plus haut, désignons par $p:G\to G/H$ l'application de passage au quotient. Soient $a$ et $b$ dans $G$ tels que $p(a)\ne p(b)$, autrement dit tels que $a^{-1}b\notin H$. Comme par hypothèse $G\setminus H$ est ouvert, il existe, en raison de la continuité de $(x,y)\mapsto x^{-1}y$, des ouverts $U$ et $V$, contenant respectivement $a$ et $b$, tels que, quels que soient $x\in U$ et $y\in V$, $x^{-1}y\notin H$. Alors $U$ et $V$ ne contiennent pas d'éléments équivalents, donc $p(U)$ et $p(V)$ sont disjoints (et contiennent respectivement $p(a)$ et $p(b)$). De plus, ce sont des ouverts dans $G/H$. En effet, d'après la définition de la topologie quotient, il suffit de vérifier que $p^{-1}(p(U))$ et $p^{-1}(p(V))$ le sont. Mais $p^{-1}(p(U))=U\cdot H$ est ouvert comme réunion d'ouverts.

En prime, si de plus $G$ est (localement) compact, il en est de même de $G/H$.

Exemples

Ils sont tous fondés sur le même principe. Soit $X$ un espace topologique sur lequel un groupe (topologique) $G$ agit transitivement. Si $a$ est un point de $X$ donné une fois pour toutes, le sous-groupe $U=\{g\in G,g\cdot a=a\}$ est fermé, dès que $X$ est séparé. On a une bijection entre $X$ et $G/H$. On peut donc transporter à $X$ la topologie quotient de $G/H$. (On a une bijection continue de $X$ -muni de la topologie de départ - sur $G/H$, qui est un homéomorphisme si $X$ est compact).

Soit ${\mathbb{R}}^n$ muni de sa structure euclidienne habituelle et $G=O(n)$ le groupe orthogonal. Ce qui précède s'applique aux situations suivantes :

• l'ensemble des systèmes orthonormés de $k$

vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$ s'identifie à $O(n)/O(n-k)$. C'est un espace compact, et même une variété (appelée variété de Stiefel).

• l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $k$

s'identifie à $O(n)/O(k)\times O(n-k)$ C'est aussi un espace compact et une variété, appelée grassmannienne.

Des considérations géométriques analogues permettent de voir l'ensemble des droites affines de ${\mathbb{R}}^n$ comme un espace homogène.