Théorème fondamental de la théorie de Galois

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème fondamental de la théorie de Galois établit une correspondance entre la structure de corps et le groupe de Galois.

Ce théorème permet l'analyse de la structure de corps d'une bonne extension, c’est-à-dire d'une extension algébrique séparable, normale et finie. Dans le cas d'un corps parfait tout polynôme admet une extension de cette nature, c'est le corps de décomposition de ses racines.

Ce théorème possède beaucoup d'applications, une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation polynomiale admette une solution par radical en est un exemple. Ce résultat est souvent appelé théorème d'Abel-Ruffini.

Soit L une extension de Galois de dimension finie sur K et G son groupe de Galois. Soit H un sous-groupe de G et L l'ensemble contenant tous les éléments de L invariant par chaque élément de H. Alors:

L est un sous-corps de L, L est une extension galoisienne de L et H est le groupe de Galois de l'extension L de L.

L'application de l'ensemble des sous-groupes du groupe G dans les sous-corps de L qui à chaque sous-groupe H associe L est une bijection.

L'extension L de K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G. Alors le groupe de Galois de L est isomorphe au groupe quotient G/H.

Propositions démontrées dans d'autres articles

• Lemme d'Artin: Soit L un corps et G un groupe fini d'automorphisme de corps de L. Alors l'ensemble K des éléments l laissé invariant par chaque élément de G est un sous-corps. De plus, L est une extension galoisienne de K.

Cette proposition est démontrée dans le paragraphe propriété des extensions de Galois.

• L'ensemble des éléments de L laissés invariants par tous les membres de G est K.

Cette proposition est démontrée dans le paragraphe propriété des extensions de Galois.

• Soit F un sous-corps de L contenant K, alors L est une extension galoisienne de F et le groupe de Galois associé est l'ensemble des éléments de G qui laisse F invariant.

Cette proposition est démontrée dans le paragraphe propriété des extensions de Galois.

• Si L est une extension finie de K₁ et K₁ une extension de K. Alors un morphisme de K₁ dans Ω laissant invariant K se prolonge en un morphisme de L dans Ω laissant invariant K.

Ici Ω désigne la clôture algébrique de K. Si L est une extension de Galois, alors le prolongement est nécessairement à valeur dans L, par définition d'une extension normale car toute extension de Galois est normale.

Cette proposition est démontrée dans le paragraphe Morphisme dans la clôture algébrique d'une extension séparable.

• Soit F une extension de K et L une extension de F. Si L est une extension de K séparable, alors L est aussi séparable sur F et F est séparable sur K.

Cette proposition est démontrée dans le paragraphe Séparation: cas des extensions et des corps.

Démonstration de la première proposition

• L est un sous-corps de L, L est une extension galoisienne de L et H est le groupe de Galois de l'extension L de L.

Cette proposition est une conséquence directe du Lemme d'Artin.

Démonstration de la deuxième proposition

• L'application de l'ensemble des sous-groupes du groupe G dans les sous-corps de L qui à chaque sous-groupe H associe L est une bijection.

Considérons l'application φ qui à un sous-corps F de L associe G_F le sous-ensemble de G qui laisse F invariant. La troisième proposition du paragraphe des propositions déjà démontrées prouve que l'application est bien définie.

Montrons que cette application est injective. Soit F₁ et F₂ deux corps distincts. Soit l un élément de F₂ qui n'est pas élément de F₁. À une permutation des indices près, il est toujours possible de trouver un tel élément si les deux sous-corps sont distincts. Soit H l'image de F₁ par φ. Alors L est une extension de Galois de F₁ d'après la troisième proposition du paragraphe des propositions déjà démontrées. Donc il existe un élément de H qui ne laisse pas l invariant d'après la deuxième proposition dans le paragraphe des propositions déjà démontrées. En conséquence F₂ n'a pas H pour image par φ, et l'application est injective.

La première proposition du théorème montre que φ est surjective.

φ est une bijection, sa réciproque est donc aussi une bijection, ce qui prouve la deuxième proposition du théorème.

Démonstration de la troisième proposition

• L'extension L de K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G. Alors le groupe de Galois de L est isomorphe au groupe quotient G/H.

Démontrons tout d'abord que:

(1) Si F est un sous-corps de L tel que F est une extension de Galois de K, alors le groupe de Galois de H de L sur F est distingué. De plus l'application ψ de G dans H qui à g associe sa restriction à F est un morphisme surjectif et son noyau est égal à H.

Montrons que ψ est bien définie et est un morphisme surjectif.

F est une extension normale de K car F est une extension de Galois, un morphisme de F a donc bien toujours pour image F et l'application ψ est bien définie. ψ est clairement un morphisme, soit h un élément de H, la quatrième proposition du paragraphe des propositions déjà démontrées montre qu'il est possible d'étendre h à L. L'image de cette extension par ψ est bien égal à h, ce qui montre que ψ est surjectif.

Montrons que le noyau de ψ est égal à H et que H est distingué.

Soit g un élément de G. Dire que g est dans le noyau de ψ c'est dire que la restriction de g à F est égale à l'identité, ce qui est la définition d'un membre de H, c’est-à-dire un automorphisme de L qui laisse invariant F. H est le noyau d'un morphisme, il est donc distingué.

Démontrons alors que:

(2) Si H est un sous-groupe distingué de G, alors L est une extension de Galois de K. Si l'on note F le sous-corps L, alors l'application ψ déjà définie est surjective et de noyau H.

Montrons que l'image de F par un élément g de G est égale à F. Soit f un élément de F et h un élément de H. L'objectif est de démontrer que g(f) est un élément de F, c’est-à-dire qu'il est invariant par h. Il faut donc démontrer que h(g(f)) = g(f). Cette égalité s'écrit encore g.h.g est élément de H. Cette égalité est vraie si et seulement si le sous-groupe distingué H ce qui est le cas. L'application ψ est donc un morphisme de G dans un groupe G₁ d'automorphismes de F.

Montrons alors de G₁ est égal à au groupe des morphismes de F laissant invariant K. Pour montrer l'égalité, le lemme d'Artin montre qu'il suffit de montrer que l'ensemble des éléments de F laissés invariants par G₁ est égal à K. Soit f un élément de F tel que quel que soit g élément de G, ψ(g)(f) = f. Alors par construction g(f) = f, cette égalité étant vraie pour tout élément de g, la deuxième proposition du paragraphe des propositions déjà démontrée prouve que f est un élément de K. Nous avons donc démontré l'égalité entre G₁ et le groupe des morphismes de F laissant K invariant.

F est donc une extension normale, car tout morphisme de F laissant K invariant a pour image F. La cinquième proposition du paragraphe des propositions déjà démontrées prouve la séparabilité de F. F est donc une extension de Galois. L'application ψ a pour image G₁ par définition. Il a été démontré que G₁ est égal à au groupe des morphismes de F laissant K invariant, ψ est donc surjective. Son noyau est par définition H.

Conclusion

Les propositions (1) et (2) sont équivalentes à la troisième proposition du théorème. Et le résultat est démontré.