Ultralimite

En mathématiques, une ultralimite est une construction géométrique qui associe à une suite d'espaces métriques X_n un espace métrique qui est leur "limite". Cette construction est une généralisation de la convergence au sens de Hausdorff, et utilise un ultrafiltre pour éviter d'avoir à considérer des sous-suites convergentes.

Pour la limite inductive d'une suite d'ultraproduits, voir Ultraproduit.

Rappelons qu'un ultrafiltre ω sur l'ensemble des entiers $\mathbb{N}$ est une mesure finiment additive $\omega :2^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}$, allant de l'ensemble des parties $2^{\mathbb{N}}$ (c'est-à-dire de l'ensemble de tous les sous-ensembles de $\mathbb{N}$) vers l'ensemble {0,1}, telle que $\omega (\mathbb{N})=1$. Un ultrafiltre ω sur $\mathbb{N}$ estt non-trivial si, pour tout sous-ensemble fini $F\subseteq \mathbb{N}$, on a ω(F)=0.

Soit ω un ultrafiltre non-trivial sur $\mathbb{N}$. Si $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite de points d'un espace métrique (X,d) et si x ∈ X, on dit que la suite est ω-convergente vers le point x, appelé la ω -limite de x_n, et noté $x={\lim }_{\omega }{x}_n$, si pour tout ε > 0 on a :

Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer :

• si une suite est ω-convergente, sa ω-limite est unique.
• si $x={\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ au sens usuel, $x={\lim }_{\omega }{x}_n$. (pour que cette propriété soit vraie, il est crucial que l'ultrafiltre soit non-trivial.)

Une caractérisation importante des espaces compacts est que toute suite est ω-convergente (ce résultat est vrai en fait même pour des espaces topologiques quelconques, en généralisant la définition) ; comme on l'a dit, la ω-limite est d'ailleurs nécessairement unique. En particulier, toute suite bornée de nombres réels admet une ω-limite, puisque tout intervalle fermé de $\mathbb{R}$ est compact.

Soit ω un ultrafiltre (non trivial) sur $\mathbb{N}$. Soit (X_n,d_n) une suite d'espaces métriques pointés par des points de base p_n∈X_n.

On dira qu'une suite $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, où x_n∈X_n, est admissible si la suite des nombres réels (d_n(x_n,p_n))_n est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif C tel que $d_n(x_n,p_n)\le C$. Notons $\mathcal{A}$ l'ensemble de toutes les suites admissibles. On voit facilement (à l'aide de l'inégalité triangulaire) que pour deux suites admissibles $\mathbf{x}=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $\mathbf{y}=(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, la suite (d_n(x_n,y_n))_n est bornée et donc qu'elle est ω-convergente vers ${\hat{d}}_{\infty }(\mathbf{x},\mathbf{y}):={\lim }_{\omega }{d}_n(x_n,y_n)$. Définissons alors sur l'ensemble $\mathcal{A}$ une relation $\sim$ de la manière suivante : pour $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathcal{A}$, on a $\mathbf{x}\sim \mathbf{y}$ si ${\hat{d}}_{\infty }(\mathbf{x},\mathbf{y})=0.$ Il est facile de voir que $\sim$ est une relation d'équivalence sur $\mathcal{A}.$

L'ultralimite de la suite (X_n,d_n, p_n) relativement à ω est un espace métrique $(X_{\infty },d_{\infty })$ défini de la manière suivante  :

$X_{\infty }=\mathcal{A}/\sim$ (en tant qu'ensemble).

Pour deux classes d'équivalence (relativement à $\sim$) $[\mathbf{x}],[\mathbf{y}]$ contenant les suites admissibles $\mathbf{x}=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $\mathbf{y}=(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, on pose

Il n'est pas difficile de voir que $d_{\infty }$ est bien définie (c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas des représentants $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ choisis), et que c'est une distance sur $X_{\infty }$ ; on note $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n,p_n)$ l'ultralimite de la suite.

Le cas des espaces uniformément bornés

Supposons que (X_n,d_n) soit une suite d'espaces métriques de diamètre uniformément bornés, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel C>0 tel que diam(X_n)≤C pour tout $n\in \mathbb{N}$ (autrement dit, pour tout n et tout couple $(x_n,y_n)\in X_n^2$, on a d_n(x_n,y_n) < C). Alors, pour tout choix de points de base p_n dans X_n, toutes les suites $(x_n{)}_n,x_n\in X_n$ sont admissibles. Dans ce cas, le choix des points de base n'a pas à être spécifié pour définir une ultralimite, et l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })$ dépend seulement de (X_n,d_n) et de ω ; on écrit alors $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n)$.

1. Si les (X_n,d_n) sont des espaces métriques géodésiques, alors $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n,p_n)$ est aussi géodésique.
2. Si les (X_n,d_n) sont des espaces métriques complets, $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n,p_n)$ est également complet.
3. Si (X_n,d_n) est une suite d'espaces compacts qui converge (au sens de Hausdorff) vers un espace (X,d), ce qui implique que les (X_n,d_n) sont de diamètre uniformément borné, alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n)$ est isométrique à (X,d).
4. Si les (X_n,d_n)sont des espaces métriques propres, et si $p_n\in X_n$ sont des points de base tels que la suite (X_n,d_n,p_n) converge (au sens de Hausdorff) vers un espace métrique propre (X,d), alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n,p_n)$ est isométrique à (X,d).
5. Soit κ≤0 and let (X_n,d_n) une suite de CAT(κ)-espaces. Alors l' ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n,p_n)$ est aussi un CAT(κ)-espace.
6. Soit (X_n,d_n) une suite de CAT(κ_n)-espaces, où ${\lim }_{n\to \infty }{\kappa }_n=-\infty .$ Alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n,p_n)$ est un arbre réel.

Les cônes asymptotiques d'espaces métriques forment une importante classe d'ultralimites. Soit (X,d) un espace métrique, ω un ultrafiltre (non trivial) sur $\mathbb{N}$, et p_n ∈ X une suite de points de base. Alors l'ultralimite (relativement à ω) de la suite $(X,\frac{d}{n},p_n)$ s'appelle le cône asymptotique de X et se note $Con{e}_{\omega }(X,d,(p_n{)}_n)$. On choisit souvent la suite des points de base constante : p_n=p pour un p fixé de X ; dans ce cas le cône asymptotique ne dépend pas de p et est noté $Con{e}_{\omega }(X,d)$ ou simplement $Con{e}_{\omega }(X)$.

Cette construction joue un rôle important dans la théorie géométrique des groupes, car les cônes asymptotiques (ou plus précisément leurs types topologiques et leurs types lipschitziens) fournissent des invariants quasi-isométriques des espaces métriques en général et des groupes à nombre fini de générateurs en particulier. Les cônes asymptotiques se sont également révélés utiles dans l'étude des groupes relativement hyperboliques et de leurs généralisations.

1. Soit (X,d) un espace métrique compact ; posons (X_n,d_n)=(X,d) pour chaque $n\in \mathbb{N}$. Alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })={\lim }_{\omega }(X_n,d_n)$ est isométrique à (X,d).
2. Soient (X,d_X) et (Y,d_Y) deux espaces métriques compacts distincts et soit (X_n,d_n)une suite telle que pour tout n on ait (X_n,d_n)=(X,d_X) ou (X_n,d_n)=(Y,d_Y). Soit $A_1=\{n|(X_n,d_n)=(X,d_X)\}$ et $A_2=\{n|(X_n,d_n)=(X,d_X)\}$. Alors A₁, A₂ sont disjoints et $A_1\cup A_2=\mathbb{N}.$ Par conséquent, l'un des A₁, A₂ est de ω-mesure 1 et l'autre a pour ω-mesure 0. Donc ${\lim }_{\omega }(X_n,d_n)$ est isométrique à (X,d_X) si ω(A₁)=1 et est isométrique à (Y,d_Y) si ω(A₂)=1. Cela montre que l'ultralimite peut dépendre du choix de l'ultrafiltre ω.
3. Soit (M,g) une variété riemannienne compacte connexe de dimension m, où g est une métrique riemannienne sur M. Soit d la métrique sur M correspondant à g ; (M,d) est alors un espace métrique géodésique. Choisissons un point de base p∈M. Alors l'ultralimite (et même la limite ordinaire au sens de Hausdorff) ${\lim }_{\omega }(M,nd,p)$ est isométrique à l'espace tangent T_pM de M à p, la distance sur T_pM étant donnée par le produit scalaire g(p). Ainsi, l'ultralimite ${\lim }_{\omega }(M,nd,p)$ est isométrique à l'espace euclidien ${\mathbb{R}}^m$ muni de la distance usuelle.
4. Soit $({\mathbb{R}}^m,d)$ l'espace euclidien usuel à m dimensions. Alors le cône asymptotique $Con{e}_{\omega }({\mathbb{R}}^m,d)$ est isométrique à $({\mathbb{R}}^m,d)$.
5. Soit $({\mathbb{Z}}^2,d)$ le réseau entier de dimension 2 avec la distance entre deux points du réseau donnée par la longueur du plus court chemin les reliant. Alors le cône asymptotique $Con{e}_{\omega }({\mathbb{Z}}^2,d)$ est isométrique à $({\mathbb{R}}^2,d_1)$, où $d_1$ est la "distance de Manhattan" sur ${\mathbb{R}}^2$.
6. Soit (X,d) un espace métrique géodésique δ-hyperbolique, avec δ≥0. Alors le cône asymptotique $Con{e}_{\omega }(X)$ est un arbre réel.
7. Soit (X,d) un espace métrique de diamètre fini. Alors $Con{e}_{\omega }(X)$ est réduit à un point.
8. Soit (X,d) un CAT(0)-espace métrique. Alors $Con{e}_{\omega }(X)$ est aussi un CAT(0)-espace.