Jeudi 12 Juin 2025
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Algèbre sur un corps - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
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- Introduction - Définitions - Exemples d'algèbres de dimension finie - Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps - Contre-exemple

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps

Tout espace vectoriel admet une base. Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel.

Si a=(a_i)_{i\in I} est une base de A, il existe alors une unique famille (c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I} d'éléments du corps K tels que :

\displaystyle a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k .

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que (c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I} sont les constantes de structure de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k constituent la table de multiplication de l'algèbre A.

Contre-exemple

  • L'ensemble des quaternions (\mathbb H, +,\cdot, \times) n'est pas une \mathbb C -algèbre car la multiplication \times n'est pas \mathbb C -bilinéaire : i\cdot (j\times k)\neq j\times (i\cdot k) .
Exemples d'algèbres de dimension finie
- Introduction - Définitions - Exemples d'algèbres de dimension finie - Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps - Contre-exemple
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